Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

a

Har qanday ellips uchun
  1
boʻlib, ^ ellipsning choʻzinchoqligini yoki

siqilganligini bildiradi. Ellipsning fokal radiuslari

r₁  a   x,
r₂  a   x
(r₁  r₂  2a)
formula bilan aniqlanadi.
a

Ellipsning kichik oʻqiga parallel va undan ^ masofada yotgan toʻg‘ri
x  ^a

chiziqlarellipsning direktrisasi deb ataladi va ^ tenglama bilan aniqlanadi.

6-misol.
4x²  3y²  8x  12y  32  0
tenglama bilan aniqlangan chiziqning

shaklini, markazini va ekssentrisitetini toping.
Yechish. Egri chiziq tenglamasida shakl almashtiramiz.

4x²  3y²  8х  12 у  32  4_х²  2х_  3_ у² 
4 у_
 32 

4_х²  2х 11_ 3_ у²  4у  4  4_32  4(x 1)²  4  3(y  2)² 1232  0,
boʻlganligi sababli, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

4(x  1)
²  3( y  2)²
 48 
(x 1)²
_2 3_2
( y  2)²

 
₄₂ 1
.

Demak, tenglama ellipsni ifodalaydi. Bu yerda

a  2 3, b  4, c  2,
  ²  0,5
4

Mashq. Ellips ^24x2 ^{ 49 y}2 ^117 tenglama bilan berilgan. Uning

1. 
   yarim oʻqlari uzunligini;
   
2. 
   fokuslarining koordinatalarini;
   
3. 
   ellipsekssentrisitetini;
   
4. 
   direktrisalar tenglamalari va ular orsidagi masofani;
   
5. 
   chap fokusidan 12 birlik masofada joylashgan ellips nuqtasini toping.
   

2. 
   Ax²  2Bxy  Cy²  2Dx  2Ey  F  0
   

kvadratik formada
  0,   0

bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma giperbolaning tenglamasi bo’ladi.

9-ta’rif. Har bir nuqtasidan belgilangan
F₁ (c,0),
F₂ (c,0)
nuqtalargacha

boʻlgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati oʻzgarmas ^2a songa teng boʻlgan nuqtalarning geometrik oʻrni giperbola deb ataladi.

Belgilangan
F₁ ,
^F2 nuqtalar giperbolaning fokuslari deb ataladi.

Ta’rifga asosan, giperboladagi ixtiyoriy
M (x, y)
uchun
F₁M

• 
  F₂M
  

 2a _{. U}

holda ^{c  a} ,
b²  c²  a²
belgilashlardan soʻng giperbolaning quyidagi kanonik

tenglamasini topamiz:



2
x _ y² _

^a2 ^b2 ¹ (9)
Tenglamadan koʻrinib turibdiki giperbola koordinata oʻqlariga nisbatan

simmetrik boʻladi. Shuningdek, giperbola
O(0,0)
nuqtaga, ya’ni koordinata boshiga

nisbatan ham simmetrik. Fokuslar yotgan oʻq giperbolaning fokal oʻqi deyiladi. Agar

7. 
   tenglamada
   

y  0,
deb olsak, ^{x  a} ni topamiz.
A_{1 }a,0_, A_{2 }a,0_{ nuqtalar}

giperbolaning uchlari deyiladi. Bu yerda
A₁ A₂
^{ 2a} . Giperbola ^Oy oʻq bilan

kesishmaydi. ^{B1 (0,b), B2 (0, b)} nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, deb atalib,
y  ^b x
ular orasidagi masofa ^2b ga teng boʻladi. ^a toʻg‘ri chiziqlar giperbolaning
asimptotalari deyiladi. Bu toʻg‘ri chiziqlar markazi koordinatalar boshida boʻlgan, tomonlari ^2a va ^2b ga teng boʻlgan toʻg‘ri toʻrtburchak (giperbolaning asosiy toʻrtburchagi) diagonallarida yotadi. Giperbolani chizishdan oldin asimptotalarini chizish maqsadga muvofiq.

Giperbola uchun ham

  ^c
a

koʻrinishdagi tenglik giperbolaning ekssentrisiteti

deyiladi, giperbola uchun ^{  1}.
Ekssentrisitet giperbolaning asosiy toʻg‘ri toʻrtburchagini choʻzinchoqligini ifodalaydi.

a



Giperbolaning mavhum oʻqiga parallel hamda undan ^ masofada yotgan toʻg‘ri chiziqlar giperbolning direktrisasi deb ataladi.


l₁ , l₂

Agar giperbolada ^{a  b} boʻlsa, giperbola teng tomonli deyiladi, uning tenglamasi

x²  y²  a²
koʻrinishda boʻladi.

Simmetriya markazi
^M0  ^{x0, y0} 
nuqtada va simmetriya oʻqlari koordinata

oʻqlariga parallel boʻlgan giperbolaning tenglamasi
(x  x )² ( y  y )²
0 _0 _{ 1
a}2 _b2
koʻrinishda boʻladi.
Agar giperbolaning haqiqiy oʻqi ^Oy oʻqda yotsa, u holda giperbola tenglamasi quyidagi koʻrinishda boʻladi:
_y2  _x2 

Bu giperbolaning ekssentrisiteti
y  ^b
_b2
  ^c
b
_a2 1

ga, asimtotalar

y  ^b x
a
ga, tengboʻlib,

uning direktrisalari esa
^ tenglamalar bilan aniqlanadi.

7-misol. ^5x2 ^{ 4 y}2 ^{ 20} giperbolada:

1. 
   yarim oʻqlar uzunligi;
   
2. 
   fokuslar koordinatasi;
   
3. 
   ekssentrisiteti;
   
4. 
   asimptotava direktrisa tenglamasi;
   
5. 
   ^{M (3;2,5)} nuqtasining fokal radiuslaritopilsin.
   

Yechish. Tenglamaning ikki tarafini 20 ga boʻlib, giperbolatenglamasini kanonik

2

1
x _ y² _

koʻrinishga keltiramiz: ^{4 5}
.Bundan:

₁₎ a²  4 _,
b² _{ 5 , ya’ni} a  2, b  5 _;

₂₎ c²  a²  b²  4  5  9  c  3_.Demak,
  ^c  ³
F₁ (3,0),
F₂ (3,0) _;

3) ^{a 2} ;

4. 
   asimptota va direktrissa tenglamalari topamiz:
   

y   ^b x   ⁵ x, x   ^a   ⁴

c 2  3 _;

4. 
   ^M nuqta giperbolaning oʻng qismida ^{ x  3  0}
   

yotganligi sababli uning

fokal radiusi ^{r  a   x}
formuladan foydalanib topiladi:

r  2  ³  3  6,5,
1 ₂
r  2  ³  3  2,5
1 _{2 .}

Mashqlar. 1) Fokuslari
F₁ (2;4),
F₂ (12;4)

nuqtalarda yotgan va mavhum

oʻqining uzunligi 6 boʻlgan giperbola tenglamasini toping.
2) Agar giperbola ekssentrisiteti 2 boʻlsa, uning asimtotalari orasidagi burchakni toping.

3. 
   Ax²  2Bxy  Cy²  2Dx  2Ey  F  0
   

kvadratik formada
  0,   0

bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma parabolaning tenglamasi bo’ladi.

F ^ 0, ^{p }



d : x  ^p

 ₂ 

10-ta’rif. Belgilangan
^{ } nuqta va belgilangan
² toʻg‘ri

chiziqdan bir xil uzoqlikda yotgan nuqtalarning geometrik oʻrni parabola deb ataladi.

F ^ 0, ^{p }



d : x  ^p

 ₂ 

^{ } nuqta fokus,
² toʻg‘ri chiziqesadirektrisa deb ataladi.

Fokus nuqtadan oʻtib direktrisaga perpendikulyar boʻlgan oʻqni ^Ox oʻqi, deb qabul qilamiz. U holda parabolaning grafigi quyidagi koʻrinishda boʻladi:

Paraboladan ixtiyoriy ^{M (x, y)} nuqta olamiz. U holda ta’rifga asosan
p

MF  (M , d ) 
 x 
2

Bu tenglamani soddalashtirib quyidagiga ega boʻlamiz:
y²  2 px
Bu tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deb ataladi.
F ^{ p} ,0 ^



y  ^p

 ₂ 

Agar parabolaning fokusi
chiziqda boʻlsa, u holda uning grafigi
^{ } nuqtada, direktrisasi ² toʻg‘ri

koʻrinishda boʻlib, tenglamasini esa quyidagicha yozamiz:
x²  2 py

Parabolaning uchi
^O(0,0) nuqtada yotadi, ^FM kesma uzunligi ^М nuqtaning

fokal radiusi, ^{Ox } oʻqi esa uning simmetriya oʻqi deyiladi. Parabolning fokal radiusi

r  x 
p



² formula boʻyicha topiladi.

8. 
   misol. Parabola
   

x²  4 y

tenglama bilan berilgan boʻlsin. Fokus nuqta

koordinatasi, direktrisa tenglamasi,
^{M (4;4)} nuqtaning fokal radiusi topilsin.

Yechish.
x²  2 py  p  2_{. Demak,}
F (0;1),
y  1_.
M (4;4)
nuqtaning fokal

radiusi
r  4  1  5 _.

Mashq.
y  2x²  8x  5
parabola uchining koordinatasi, fokusi va direktrisasi

topilsin hamda uning grafigining eskizi chizilsin.

8. 
   misol. Agar talab va taklif funksiyalari
   

P  Q²  14Q
 22,
P  Q²
10Q
 150
koʻrinishda boʻlsa, ishlab chiqarilgan

S S D D
mahsulot uchun muvozanat miqdorini va muvozanat narxini aniqlang.

Yechish. Muvozanatda
Q_S  Q_D  Q
boʻlgani uchun masala shartidagi

funksiyalarni holda
P  Q²  14Q  22,
P  Q² 10Q  150
korinishda yozib olamiz. U

Q²  14Q  22  Q² 10Q  150  2Q²  24Q 128  0 _.

Bu tenglamaning yechimi
Q  16,
^{Q  4} . Bu yerda
^{Q  0} boʻlgani uchun

Q  4
(muvozanat miqdor) qiymatni tenglamaning yechimi sifatida qabul qilamiz. U

holda
P  94
(muvozanat narx).

Mashqlar. 1) Agar talab va taklif funksiyalari

P  2Q²  10Q
 10,
P  Q²

• 
  5Q
  

• 
  ⁵² boʻlsa, ishlab chiqarilgan mahsulot uchun
  

S S D D
muvozanat miqdorni va muvozanat narxni aniqlang.

2. 
   Agar talab va taklif funksiyalari
   

P  Q²  2Q
 12,
P  Q²

• 
  4Q
  

 68

S S D D
mahsulot uchun muvozanat miqdorni va muvozanat narxni aniqlang.

2. 
   Agar talab va taklif funksiyalari
   

P  Q²  2Q
 7,
P  Q
 25
boʻlsa,

S S D
ishlab chiqrilgan mahsulot uchun muvozanat miqdorni va muvozanat narxni aniqlang.

8. 
   misol.
   

berilgan.
Yechish.
x²  2xy  2 y²  4x  6 y  3  0
tenglamada qaysi turdagi egri chiziq

1 1 2

  ^{1 1}  1,
  1 2 3  26.

1 2
2 3 3

Demak, ^{  0},
 0,
u holda bu tenglama ellipsni ifodalaydi.

8. 
   misol.
   

5x²  8xy  5y² 18x 18y  3  0

tenglama bilan berilgan egri

chiziqning qaysi turdagi egri chiziq ekanligini aniqlang.

Yechish.
A  5, B  4, C  5,D  9, E  9,F  3
5 4 9

  ^{5 4}  9,   4 5
9  0.

4 5 _9
9 3

Demak, ^{  0},
 0,
u holda bu tenglama ellipsni ifodalaydi.