Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

Keywords: quadratic forms, canonical form, law of inertia, orthogonal substitution, eigenvalues and eigenvalues, eigenvalues and eigenvalues, second order lines.

1. Kvadratik formaning ta’rifi va unga misollar.

1-ta’rif. ⁿ ta
x₁, x₂ ,..., x_n
noma’lumlarning
f (x)
kvadratik formasi, deb har bir

n n

hadi bu noʻmalumlarning kvadrati yoki ikkita noma’lumning koʻpaytmasidan iborat boʻlgan
^{f  a}ij ^xi ^x j

yig‘indiga aytiladi.

i1 j 1
(4)

Kvadratik formaning
^aij
koeffitsiyentlaridan foydalanib

_ a₁₁ a₁₂ ... a_{1n }
^ a a ... a ^

A  ^
21 22 2n _

^ ... ... ... ... ^
 a a ... a ^
 n1 n 2 nn 
kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda ^A matritsaning barcha xarakteristik

ildizlari haqiqiy boʻlishi uchun
^{aij  aji} , deb faraz qilinadi. ^A matritsaning rangi (4)

kvadratik formaning rangi, deyiladi. ^A matritsa aynimagan boʻlsa, (4) kvadratik forma xosmas deyiladi.
Kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy yoki kompleks sonlar boʻlishiga boʻg‘liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi.
(4) ni matritsa formada quyidagacha yozish mumkin

f  X^T AX
(5)

Bu yerda ^X va ^{X } oʻzaro transponirlangan matritsalar boʻlib,
 ^x₁ 
 _x 
_{X }  ² 

 _x 
 n 
Ikki noʻmalumli kvadratik forma quyidagi koʻrinishda boʻladi

f  X^T AX
^  ^{x x}
_^{ a}11
^a₁₂  ^x₁ 

1 2  _{a a}  _x 
 21 22  2 
f  a x²  (a  a )x x  a x²  a x²  2a x x  a x², (a  a )
11 1 12 21 1 2 22 2 11 1 12 1 2 22 2 12 21
Uchta noʻmalumning kvadratik formasi esa

^{ a}11
^a12
^a₁₃  ^x₁ 

f  X ^T AX
^  ^{x x x}
^{ a a a}
 _x 

1 2 3 _ 21 22 23 _ 2 _

^ a a a
 _x 

 31 32 33  3 

f  a x²  2a x x  2a x x  2a x x 
11 1 12 1 2 13 1 3 23 2 3
a x²  a x², (a  a , a  a , a  a )
22 2 33 3 12 21 13 31 23 32
koʻrinishda boʻladi.
Simmetrik matritsalar uchun ba’zi xossalarini keltirib oʻtamiz:

1. 
   ( AB)^T  B^T A^T _;
   

2. 
   ^AT
   

 A _.

Bu xossalardan foydalanib quyidagi teoremani sxematik isbotlaymiz.
Teorema. ^A matritsali ⁿ noma’lumli kvadratik forma ustida ^Q matritsali

chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng u kvadratik formaga aylanadi.
Isbot. (4) formaga nisbatan
^QT ^AQ matritsali yangi ⁿ noma’lumli

ya’ni ^X
 QY



^xi ^{ q}ik ^yk
k 1
chiziqli almashtirishni bajaramiz. U holda 1- xossaga koʻra

X^T  Y^TQ^T
tenglikni hosilqilamiz. U holda (4) quyidagi koʻrinishga keladi:

f  Y^T (Q^T AQ)Y
yoki
f  Y^T BY

Bu yerda ^B matritsa simmetrik boʻladi.

1. 
   misol.
   

f  2x²  4x x
 3x²
kvadratik forma ustida

1 1 2 2
_x₁  2 y₁  3y₂ ,
^x  y  y
 2 1 2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping.
_{A  } 2 2 _
^ 2 3^

Yechish. Bu yerda kvadratik formaning matritsasi
^{ } , chiziqli

_{C  } 2 3_
 _{1 1} 

almashtirishning matritsasi esa asosan
^{ } koʻrinishda boʻladi. U holda teoremaga

A^*  C^T AC  ^
2 1_ 2 2 _ 2
3_{  } 13
17 _

^ 3 1^ 2 3^ 1 1 ^{ } 17 3 ^
     
Bundan quyidagi kvadratik formani hosil qilamiz:
L 13y²  34y y  3y²

1 1 2 2
Mashqlarni bajaring.
₁ 1 2 1

1. 
   ^f
   

 x²  8x x
 3x²
kvadratik forma ustida

_x₁  2 y₁  3y₂ ,
^x  3y  2 y
 2 1 2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping.

2. 
   ^f
   

 5x²  4x x  2x²
kvadratik forma ustida

1 1 2 2
_x₁  2 y₁  5 y₂ ,

^x  2 y  3y
 2 1 2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping. Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi xulosani chiqarish mumkin.
Chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng kvadratik formaning rangi oʻzgarmaydi.
2.Kvadratik formaning kanonik korinishi. Kvadratik formani kanonik korinishga keltirish.

2. 
   ta’rif. Agar (4) kvadratik formada turli noma’lumlarning koʻpaytmalari oldidagi barcha koeffitsiyentlar nolga teng boʻlsa, u holda bu forma kvadratik formaning kanonik koʻrinishi deb ataladi.
   

Shunday qilib, quyidagi
f  b y²  b y²  ....  b y²
1 1 2 2 n n
ifoda (4) formaning kanonik koʻrinishi deyiladi.
Shuni alohida ta’kidlash kerakki, kanonik koʻrinishda noldan farqli koeffitsiyentlar soni (4) kvadratik formaning rangiga teng boʻlishi kerak. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Har qanday kvadratik forma biror xosmas chiziqli almashtirish orqali kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
Bu teoremani matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkin. Demak, matematik induksiya metodi yordamida kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltirish mumkin.
Berilgan kvadratik forma keltiriladigan kanonik koʻrinish bir qiymatli aniqlangan emas, ya’ni har qanday kvadratik forma turli usullar bilan turli koʻrinishdagi kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
Masalan, ^{f  2x1x2  6x2 x3  2x3 x1} kvadratik formani

^x  ¹ t



 ¹ t  3t ,

_ 1 ₂ 1 ₂ 2 3
^ 1 1

^x  t  t

• 
  t ,
  

2
^ 2 1

₂ 2 3

^{x3  t3.}

1. 
   ^
   

f  ¹ t ²  ¹ t ²  6t ²

xosmas chiziqli almashtirish yordamida keltirish mumkin;
₂ 1 ₂ 2 3
kanonik koʻrinishga

_x₁  t₁  3t₂  2t₃ ,
^x  t  t  2t ,
^ 2 1 2 3
^x  t .
_b)  3 2

1 2 3
xosmas chiziqli almashtirish yordamida keltirish mumkin.
f  2t²  6t²  8t²
kanonik koʻrinishga

(4) krvadratik formani kanonik koʻrinishda yozish uchun ^A matritsaning

xarakteristik ildizlarini, ya’ni
A  E
koʻphadning ildizlarini topamiz. Bu ildizlar

esa kanonik koʻrinishning koeffitsiyentlari boʻladi.

2. 
   misol. Quyidagi
   

f  2x₁x₂  2x₁x₃  2x₁x₄  2x₂ x₃  2x₂ x₄  2x₃x_{4 .}
kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring.
Yechish. Bu kvadratik formaning matritsasi
_ 0 1 1 1_
^ 1 0 1 1 ^
_{A }  
^ 1 1 0 1 ^

 
^ 1 1 1 0 ^
koʻrinishga ega. Uning xarakteristik koʻphadini topamiz:

	1	1	1
1		1	1
1	1		1
1	1	1	
aning uch karrali x ^^4^^^3mavjud.

A  E   ( 1)³(  3)

Shunday qilib, ^A matrits bitta oddiy xarakteristik ildizi:
arakteristik ildizi:
₁  ₂  ₃  1 _va

Demak, bu kvadratik formaning kanonik koʻrinishi quyidagicha boʻladi:

1 2 3 4
f  y²  y²  y²  3y² _.
Ba’zi hollarda faqat kanonik koʻrinishini emas, balki bu koʻrinishga keltiruvchi almashtirishni bilish kerak boʻlib qoladi.
Buning uchun berilgan ^A simmetrik matritsani diagonal koʻrinishga keltiruvchi
^Q orthogonal matritsani yoki uning teskari matritsasi ^Q1 ni topish va ^A matritsaning
^0 xarakteristik ildizlaridan foydalanib tuzilgan

( A  ₀E) X  0
sistemaning fundamental yechimlarini ortonormallash kifoya. Yuqoridagi misolda uning amalga oshirish algoritimini koʻrib chiqamiz. 3-misol. Quyidagi