Kvadratik formaning ta’rifi. Kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish

14- amaliy mashgulot
Kvadratik formaning ta’rifi. Kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish.
**** * * * * *
1- misol. Kvadratik formaning matnritsasini yozing.

Yechish. Ikkinchi darajali ko‘phad koeffitsientlari Kvadrat formaning matritsasi
.
**** * * * * *
2- misol
ning qanday qiymatlarida kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘ladi.
Yechish. Kvadrat formaning matritsasi . Silvester kriteriysiga asosan barcha burchak minorlari bu matritsaning musbat bo‘ladigan ning barcha qiymatlarini topamiz. Minorlarni hisoblaymiz.

J.: hech qanday qiymatida kvadratik ko‘phad musbat aniqlangan bo‘lmaydi.
**** * * * * *
3- misol. Kvadratik forma musbat aniqlanganmi?

Yechish. Kvadrat formaning matritsasi ,

Bosh minorlari hammasii musbat bo‘lgani uchun kvadratik forma musbat aniqlangan.

**** * * * * *

4- misol. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltiring

Yechish. Ikkinchi darajali ko‘phad koeffitsientlari . Xarakteristik tenglamasini tuzamiz.


Kvadrat formaning kanonik tenglamasi

**** * * * * *
5- misol
kvadratik formani ortogonal shakl almashtirishlar yordamida kanonik ko‘rinishga keltiring. Koordinatalarni almashtirib mos matritsani tuzing.
Yechish. Kvadrat formaning matritsasi .

**** * * * * *

6. misol.
(*)
Egri chiziqning tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltiring.
Yechish. Bosh hadlarinig matritsasi
. U holda xos sonlarni quyidagi yoki
Xarakteristik tenglamani topamiz : Ularga mos keluvchi xos vektorlarni topaylik. Avval U holda sistemani hosil qilamiz. Uning yechimi. Buni normallashtirsak, xos vektor kelib chiqadi
Endi desak,

sistema hosil bo‘ladi. Buning yechimi. Uni normallashtirib ikkinchi vektorni topamiz: vektorlar ortogonal, chunki . Bu ikki vektordan foydalanib, almashtirish maktritsasini tuzaylik:
. Demak , berilgan tenglamada

Chiziqli almashtirish bajarish kerak ekan. Natijada (*)ga qo‘ysak
Soddalashtirsak,

Ko‘rinishga keladi. Bu tenglikning ikkinchi va uchinchi hadlarini to‘la kvadratga to‘ldirsak
Bo‘ladi. Koordinatalarni formulalar bo‘yicha parallel ko‘chirsak: yoki
Tenglamaga ega bo‘lamiz. Demak, berilgan chiziq ellips ekan.