Kurs ishi bajardi imta-2 guruh talabasi Qabul qildi t f. n., dosent A. G’. Qodirov Mundarija Bet

Sistemaning inersiya momenti. Inersiya radiusi
Massa markazining holati sistemada massa taqsimlanishini toliq
xarakterlamaydi. Masalan, Oz o`qi dan masofada turuvchi ikki tabir
xil A va В sharlar holatini bir xil masofaga o’zgartirsak (151-rasm),


19
Sistema massa markazining holati o‘zgarmaydi. Lekin sistemada massa taqsimlanishi o ‘zgaradi, ya’ni A va В sharlarning O’z o ‘q atrofidagi aylanishi yo tezlashadi yoki sekinlashadi.
Sistemaning aylanma harakatidagi massa taqsimlanishini uning
Inersiya momenti xarakterlaydi.
Sistemaning o ‘qqa, nuqtaga va tekislikka nisbatan inersiya momentlari tushunchalari bilan tanishibc hiqamiz. Ixtiyoriy О nuqtadan uchta o‘zaro perpendicular o‘qlarni, shuningdek, koordinata tekisliklarini o ‘tkazamiz (152-rasm).
Sistemaning biror 0‘qqa nisbatan inersiya momenti deb sistema
Har bir zarrachasi massasini shu zarrachadan mazkur o ‘qqacha
bo‘lgan masofa kvadratiga ko‘paytmasining butun Sistema zarrachalari bo‘yicha olingan yig’inndisiga aytiladi.
Sistemaning Oz o'qqa nisbatan inersiya momentini I_z. bilan belgilasak, ta’rifga muvofiq:

Bunda Mv nuqtadan Oz o‘qqacha bolgan masofa hv deb olingan.
Inersiya momentining SI sistemadagi o’lchov birligi kgm2, texnik
sistemadaesa kgms2 boladi.
O’qqa nisbatan inersiya momentini hisoblaganda Sistema zarrachalaridan o‘qqacha bolgan masofani shu zarrachalar koordinatalari orqali ifodalash mumkin.
6. MEXANIK SISTEMA KINETIK ENERGIYASI NING O‘ZGARISHI HAQIDA TEOREMA
Mexanik sistema kinetic energiyasi deb sistemani tashkil qilgan nuqtalar kinetic energiyalarining yig'indisiga aytiladi.Moddiy nuqta kinetik energiyasi singari mexanik sistema kinetik energiyasi ham tezliklarning yo‘nalishiga bog`liq bolmagan skalyar musbat kattalikdir.
Mexanik sistema nuqtalarining tezliklari nolga teng boigan holdagina uning kinetik energiyasi nolga teng boiadi. Kinetik energiya moddiy nuqtaning yo kimexanik sistemaning birdaniga ham ilgarilanma, ham aylanma harakatlarini xarakterlovchi oichovdir. Yana bir muhim hol shundan iboratki, ichki kuchlar mexanik sistemaning qismlariga o‘zaro qarama-qarshiyo‘nalishda ta ’sir k o‘rsatishligi tufayli u lar mexanik harakatning vektor olchovlari (harakat miqdoriva harakat miqdori m om entlari)ni o‘zgartirmas edi. Lekin ichkikuchlar ta’siridan mexanik sistema nuqtalari tezliklarining moduli o'zgarsa sistemaning kinetik
20
energiyasi o‘zgaradi. Demak, harakat miqdoriva harakat m iqdori momentidan kinetik energiyaning farqi kinetik energiyani ham tashqi kuchlar, ham ichki kuchlar ta’sirida o'zgarishidir. Agar mexanik sistema birnecha jismlardan tashkil topgan boisa, uning kinetik energiyasi mazkur jismlarning kinetik energiyalari yig‘indisiga teng boiadi. Quyida mexanik sistema harakatining umumiy holida uning kinetik energiyasini aniqlovchi Kyonig teoremasini isbotlaymiz. Mexanik sistema harakatini uning massalar m arkazi bilan birgalikdagi ko‘chirma ilgarilanma harakat va massalar markazi bilan birgalikda ilgarilanma harakatlanayotgan koordinatlar sistemasiga nisbatan nisbiy harakatlariga ajratamiz. U holda sistemaning ixtiyoriy M k nuqtasi uchun rasmdan quyidagi tenglik o‘rinli boladi.
P* = P c+rk va mos ravishda

Ga teng. Qo‘zg‘aluvchi koordinatlar sistemasi ilgarilanma harakatlanganligi sababli nuqtaning nisbiy tezligi va demak, rkdan vaqt bo‘yicha olingan hosila nuqtaning nisbiy tezligiga teng lokal hosilasi bilan aynan boiadi. Vk tezlikning qiymatini sistemaning absolut harakatidagi, ya’ni 0Çr|Ç koordinatlar sistemasiga nisbatan harakat kinetic energiyasi ifodasiga qo ‘yamizva b a ’zi o'zgartirishlardan so‘ng quyidagiga ega bolamiz.
21


Kelib chiqadi, buyerda — massalar markazi bilan birgalikda harakatlanayotgan koordinatlar sistemasiga nisbatan mexanik sistemasining nisbiy harakat kinetik energiyasi yoki mexanik sistemasining massalar markaziga nisbatan kinetik energiyasi. (11.2) formula Kyonig teoremasini ifodalaydi: murakkab harakatdagi mexanik sistemaning kinetik energiyasimassasi sistema massasiga teng deb olinadigan massalar markazining kinetik energiyasi hamda massalar markazi bilan birgalikda ilgarilanma harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan mexanik sistemaning nisbiy harakat kinetik energiyalarining yig‘indisiga teng. Endi qattiq jismning turli harakatlarida kinetik energiyasini hisoblaymiz. Ilgarilanma harakatlanayotgan qattiq jismning kinetik energiyasi quyidagi formuladan aniqlanadi:

22
Q o‘zg‘almas o‘q atrofida aylanma harakatlanayotgan jismning kinetik energiyasi:
Iz — aylanish o ‘qi z ga nisbatan jismning inersiya momenti. Tekis parallel harakatlanayotgan jism kinetik energiyasi uchun quyidagiga ega bolamiz.

Shunday qilib, tekis parallel harakatlanayotgan jismning kinetik energiyasi jismning massalar markazi bilan birgalikdagi ilgarilanma harakat kinetik energiyasi va jismning m assalar markazi orqaliharakat tekisligiga perpendikulyar o‘tuvchi o‘q atrofida aylanma harakat kinetik energiyalarining yig'indisiga teng. Sferik harakatdagi jismning kinetik energiyasini hisoblashda uning harakatini har ondagi qo‘zg‘almas 0 nuqtadan o‘tuvchi biror oniy o‘q atrofidagi aylanma harakatdan iborat deb qaraymiz. Bu holda jismning kinetik energiyasi

bunda /, jismning oniy aylanish o'qqa nisbatan inersiya momenti bo‘lib, formuladan aniqlanadi.Demak, sferik harakatdagi jismning kinetik energiyasi, jismning oniy aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti /, ning oniy burchak tezligi to kvadratiga ko‘paytmasining yarmiga teng.
Erkin qattiq jism harakatning umumiy holida, jism harakatini massalar markazi bilan birgalikdagi ilgarilanma harakat va uning atrofidagi aylanma harakatdan iborat deb qarasak, erkin jismning kinetik energiyasiga muvofiq quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

23

Y a’ni erkin qattiq jismning kinetik energiyasi jismning massalar markazi bilan birgalikdagi ilgarilanma harakat kinetik energiyasi va massalar markazi orqali o‘tuvchi oniy aylanish o‘qi atrofida aylanma harakat kinetik energiyasining yig‘indisiga teng. Mexanik sistema bir necha jismdan tashkil topgan boisa, u holda har qaysi jismning kinetik energiyasi ayrim-ayrim hisoblanadi va topilgan natijalarning yig‘indisi olmadi.
Jismlar sistemasining kinetik energiyasi shu yo‘sinda hisoblanadi.
11-masala. Gorizontal tekislikdajoylashgan planetar mexanizmni bir xildagi uchta 1,2,3 g‘ildiraklar o ‘qlarini tutashtiruvchi OA krivoship harakatga keltiradi. Birinchi g‘ildirak qo‘zg‘almas; krivoship co burchak tezlik bilan aylanadi. Har qaysi g‘ildirakning massasi Mj ga, radiusi r teng, krivoship massasi M 2 ga.

teng. G ‘ildiraklami bir jinsli disk va krivoshipni bir jinsli sterjen deb hisoblab, mexanizmning kinetik energiyasi hisoblansin. Yechish. Mexanik sistema uchta g‘ildirak va krivoshipdan iborat. Sistem aning kinetik energiyasi ana shu jism larning kinetik energiyalari yig‘indisiga teng. 1-g‘ildirak q o ‘zg‘alm as b o ‘lganligi sababli uning kinetik energiyasi nolga teng. Demak, sistemaning kinetik energiyasi:

24
OA krivoship O dan o‘tgan qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanma harakat qiladi. Uning kinetik energiyasi qattiq jism aylanma harakat kinetik energiyasidan iborat:

Bu yerda Ik=M 2(4r)2/3 krivoshipning О o‘qqa nisbatan inersiya momenti.2-g‘ildirak tekis parallel harakatlanadi, uning kinetik energiyasi quyidagicha aniqlanadi:

2-gildirakning С nuqtasi — m assalar m arkazi tezligi krivoshipning xuddi shu С nuqtasi tezligi

ga teng. Uning burchak tezligi ci^ni 2-g‘ildirak markazi С dan tezliklar oniy markazi, ya’ni 1 -g‘ildirak bilan tegishgan M nuqtagacha boigan masofaga v2 tezlikni boiib aniqlaymiz:

2-g‘ildirakning m assalar m arkazidan o ‘tgan o ‘qqa nisbatan inersiya momenti, u yaxlit disk hisoblanganligi sabab

25
gateng. Ushbularniyuqoridagi (v) ifodagaqo‘yib 2-g‘ildirakkinetikenergiyasiuchunquyidaginitopamiz:


2-g‘ildirakning kinetik energiyasini u tezliklar oniy markazi atrofida oniy aylanma harakat qilayapti deb ham aniqlash mumkin.

Bu yerda I2M-2-g‘ildirakning massalar markazi С orqali rasm tekisiigiga tik o'tgan o‘q bilan parallel holda tezliklarru ошу markazi M dan rasmga tik o'tgan o‘qqa nisbatan inersiya m omenti. U Gyuygens — Shteyner teoremasiga ko‘ra

ga teng. Endi kinetik energiyani hisoblab yana yuqoridagi qiymatni olamiz.

3-g‘ildirakning ikkita nuqtasining tezligini aniqlab u qanday harakatlanayotganini bilamiz. Uning m arkaziy A nuqtasining tezligini krivoshipning A nuqtasi tezligidan aniqlaymiz, chunki A nuqta bir vaqtda ham g‘ildirakka va ham krivoshipga tegishlidir:

26
Endi uning 2-g‘ildirak bilan tegishgan K nuqtasi tezligini 2- g‘ildirakning ushbu sirt nuqtasi tezligiga tengligidan (g‘ildiraklar sirpanmasdan aylanadi) aniqlaymiz. 2-g‘ildirakning bu tegishgan nuqtasi tezligi uning burchak tezligi oo2 ni nuqtadan tezliklar oniy markazi M gacha boigan masofaga ko‘paytirilganiga teng, ya’ni

Shunday qilib, 3-g‘ildirakning A va K nuqtalarining tezligi o‘zaro teng ekan, demak, u ilgarilanma harakatlanadi. Shuning uchun uning kinetik energiyasi

Ga teng.Mexanik sistema jismlari uchun yuqorida aniqlangan kinetik energiyalar qiymatini (a) ga qo‘ysak, bu mexanik sistema kinetik energiyasi uchun quyidagi ifodaga kelamiz: