Куринишда булиб, г = о текисликда турри чизи ни аницлайди, де­мак, бу холда s сирт билан п текислик турри чизиц буйича кеси- шади

22- §. Иккинчи тартибли конус сиртлар. Конус кесимлари
Бирор II текисликда L иккинчи тартибли чизи^ ва бу текисликка
тегишли булмаган Л4₀ нуцта берилган булсин.
Таъриф. Фазодаги М_о нуцтадан утиб, L ни кесиб утувчи
барча тугри чизицлар туплами иккинчи, тартибли конус сирт (ёки
конус) деб аталади. М_о конус учи, L чизи^ эса конус йуналтирув-
чиси, конусни ^осил цилувчи тугри чизи^лар унинг ясовчилари деб
аталади.
Конус ясовчилари маркази
конус учида булган турри чи-
зицлар богламига тегишлидир.
Энди конус тенгламасини кел-
тириб чицарайлик. Аффин репер-
ни шундай танлаб оламизки, ко-
нуснинг йуналтирувчиси ётган
текислик II = хОу текисликдан
иборат булиб, М₀(х₀, у₀, z₀) ну^-
та эса фазонинг хОу да ётмаган
ихтиёрий нукд-аси булсин (183-
чизма).
L:F(x, у) = 0. (22)
Конуснинг ихтиёрий М(х, у,
г) нуцтасини олайлик, у ^олда
М_о М ту₽рг чизик конуснинг
ясовчиси булиб, L билан (яъни хОу
таси МДхр гд, 0) булсин. М_о, М,

текислик билан) кесишган ну1\-
М₁ нукдалар бир тугри чизи!\-
да ётгани учун М₀М₁ || М₀М ёки М_ОМ_Г= ХМ₀М=>-
•Ч— х₀= ^{х — х₀), у₁ — у₀=Х(у — у₀), 0 — z₀ =X(z — z₀) ёки
•*1 — х₀ (^х -«о). У1 — У а + {у — Уо)> ²о М² — ²о) ⁼ 0- Сунгги тенгликдан X ни топиб, аввалги икки тенгликка цуямиз:
= х₀ + ^Х-^ ■ г₀, _У1 = г/₀ + ²о- (231-
^го — г г₀ — г
Mj £ L=> F (х₁₍ z/j) == 0 лрицалар
ёки
253

F к + z₀, Уо + -Zo⁵) = 0. (24)

Равшанки, конусга тегишли барча нуцталарнинг координата лари (24) ни цаноатлантиради, конусга тегишли булмаган ^еч цандай нук,- танинг координаталари (24) ни цаноатлантирмайди, демак, (24) ифода конус тенгламасидир.
Конуснинг учи координаталар бошидан иборат булган ^олни тек- ширайлик. Бунинг учун аввало алгебрадан функциянинг бир жинс- лилиги тушунчасини эслайлик: агар исталган t учун F (xt, yt, zf) = = t^kF (x, у, z) шарт бажарилса, F (x, у, z) функция k- даражали бир жинсли функция деб аталар эди, масалан, F (х, у, г) = х²— у² + г² функция иккинчи даражали бир жинсли функциядир:
F (tx, ty, tz) = (tx)² - (ty)² + (tz)² = F(x² -y² + z²) =
= t²F(x,y,z\ (25)
F (x, y, z) = 0
бир жинсли тенглама булиб, бирор S сиртни аницласин ^амда Mj (x_lt r/j, Zj) С 5 булсин, OMj тугри чизи^ни утказамиз, унинг параметрик тенгламалари:
/ х = tx_}, у = ty_it z = /z_v (26)
ОМ_± нинг иктиёрий М (х, у, г) нуцтасини олайлик, (26) га асосан M(tx_lt ty_v tz^.
Энди Л1 нуцтанинг координаталарини (25) га цуйиб, F (х, у, г) нинг бир жинсли эканини эътиборга олайлик:
F (tx, ty, tz) = t^kF(x, у, z) =* 0; демак, OM_t cz S.
X у л о c a . (25) куринишдаги бир жинсли тенглама учи коорди­наталар бошида булган конуснинг тенгламасидан иборат.
Агар
F (х, у) = а_± jx² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0 булса, конуснинг учи сифатида, соддалик учун, Л4_о(0, 0, 1) ни ол- сак, (24) тенглама ^уйидаги куринишни олади:
а_пх² + 2a_i2xy + а₂₂у² + 2а₁₃х (1 — z) ф- 2а₂₃у (l—z) +
+ а₃₃(1-г)² = 0. (27)
Энди (1) куринишдаги тенглама граней шартларда конусни ани^- лаши мумкин деган саволга утайлик.
S конуснинг учи М₀(х₀, у₀, г₀) нуктада дейлик. Ихтиёрий и (I, т, п) векторни олиб (бу вектор асимптотик йуналишга эга булма- син), М нуцтадан и га параллел и тугри чизиц утказайлик, унинг параметрик тенгламалари:
X = х₀ ф-7/, У = у₀ + mt, Z = z₀ + nt, (28)
_ i 'план (1) нинг кесишиш нуцтасини изласак, (4) тенглама ^осил миз:’ ^{34 б}У^лса> (5)^=>/? = 0. У ^олда
250

(4)=>Р/² + (# = 0.

(29)
Конуснинг таърифига асосан и тугри чизиц 5 га ту лиц тегишлиёки фацат битта М умумий нуцтага эга, бу деган суз (29) тенглама чек- сиз куп ечимга эга ёки фацат битта t = 0 га эгадир, (29) дан ку- риниб турибдики, бу шартлар бажарилиши учун Q = 0 бу лиши ке- рак, буни ёйиб ёзсак,
(^аи^хо + ^аиУо + ^ai3^zo + ^аи) I 4* (^fl2i^xo + ^аггУо + ^агз^го +’^a2i)^т +
+ (^аз1^хо + а₃2«/о + ^зз^о + «зд) п = 0. (30)
Бу шарт асимптотик йуналишга эга булмаган цар цандай и вектор учун бажарилганлигидан:
^а11^Х0 4” ^а12У0 + ^а13^г0 4~ ^а14 ⁼ О,
^а21^хо + ^аггУо 4~ ^а2з^го + а_г4 — 9, (31)
^а31^хо 4~ взгУо + ^й33²0 4" °34 — 9,
M_o(-S ни цамда (31) ни эътиборга олсак,
(1) =* а«^хо 4- а₄₂ г/₀ 4- a_i3z₀ + a_it = 0. (32)
Демак, (1) тенглама конусни ифодалаганда конус учининг координа- талари (31), (32) шартларни цаноатлантириши керак.
Аксинча, (1) тенглама берилган булса цамда бирор Л4₀ нуцта учун (31), (32) шартлар бажарилса, берилган тенглама учи М_о нуц- тадаги конусни ифодалайди. ^ацицатан цам, М_о нинг координатала- рини (1) га цуйиб цисобласак цамда (31), (32) ни эътиборга олсак, М_о С S эканига ишонч цосил циламиз.
Энди М_о нуцтадан ихтиёрий (28) тугри чизицни утказиэ, у билан S нинг кесишган нуцтасини топишга царакат цилсак, (4) тенгламада Q — R — 0 булиб, Pt² = 0. Бундан и тугри чизиц 3 билан фа- цат битта Л4₀ нуктада кесишади ёки бу тугри чизиц 5 га тулиц те- гишли деган хулоса чицади, демак, S конусдир.
Хуллас, S сирт учи М_о нуцтада булган конусдан иборат булиш- лиги учун Л4₀ нинг координаталари (31), (32) шартларни цаноатлан- тириши зарур ва етарли.
(31), (32) дан цуйидаги матрицаларни тузамиз:

Маълумки, (31), (32) даги тенгламаларнинг биргаликда бу лиши учун бу матрицалар рангларининг тенг булиши етарли ва зарурдир.
Шунинг учун (1) тенглама конусни ифодалаши учун (33) матри­цалар рангларининг тенг булиши кифоя.
Агар (1) тенглама конусни ифодаласа, у цолда (33) матрицалар рангларининг энг каттаси 3 га тенг, демак, конус учун
253

= 0
(34)

шарт бажарилиши керак.
Энди декарт реперида берилган конуснинг баъзи текисликлар билан кесимини текширайлик. Бу реперда иккинчи тартрбли конус­нинг энг содда тенгламаси
_г2 ,,2 ₂2
У ± = о