Куринишда булиб, г = о текисликда турри чизи ни аницлайди, де­мак, бу холда s сирт билан п текислик турри чизиц буйича кеси- шади

20-§. Сферик сирт
I бобда сирт тенгламаси тушунчасини берганимизда сфера таъри- фини бериб, унинг ^уйидаги каноник тенгламасини декарт реперида келтириб чицарган эдик:
(х — а)² 4-(у — Ь)² 4-(г — с? = 7?², (12)
бунда (а, Ь, с) —сфера маркази, R — сфера радиуси.
(12) ни цуйидагича ёзамиз:
х² 4- у² + г² — 2ах — 2Ьу — 2сг + а² + Ь² + с² —R² = 0. (12')
Бундан: 1) сферанинг иккинчи тартибли сирт эканлигини курамиз,
2) (12') да ху, хг, yz купайтмалар цатнашган ^адлар йуцлигини, 3) х², у², г² олдидаги коэффициентларнинг 1 га тенглигини куриб турибмиз.
Энди (1) да а₁₂ = а₁₃ = а₂₃ = 0 ва а_и = а₂₂ = а₃₃ деб фараз к^илинса,
а_пх² + а_пу² 4- а_пг² 4- 2а₁₄х 4- 2а_иу 4- 2a₃₄z 4- a_i4 = 0 (13)
тенглама сферани ифода циладими деган саволга жавоб излайлик. a_n 0 га булиб юбориб,
2^14 __ Д __ 2^34 Д₄4
^all ^а11 ^all ^а11
белгилашларни киритсак,
х² 4- У² 4- z² 4- Ах 4- By 4- Сг 4- D = 0. (14)
Бу тенгламани цуйидагича ёзиш мумкин:
₊(£V_/|)’ _{+ d = 0},
ёки
245

(х + у)² + (*/ +1)² + (г + = 1 (А² + В² + С² —40). (15)

Дуйидаги ^олларни цараб чицайлик:
а) А² + В² + С² — 4D > 0; бу .\олда
— \2
— 4 0) ,
(х ₊ Ау ₊ (_!,₊£)>₊(_г+£.)¹ ₌ (1._Кл. _{+ в}. _{+ с}.-4₁₎у
, / 4 В С \
бу тенглама эса маркази I — —, —~ ~ I нуцтада ва радиуси
R = V А² -ф В² + С² — 4 О га тенг сфера тенгламасидир.
б) А² 4* В² + С² — 4 0 = 0, бу ^олда (15) тенглама
(х₊|)Ч(_{У +} |Г ₊ (_{г +} |Г = О
куринишда булиб, уни ^аноатлантирувчи факат битта (—р —р
С \
— — 1 нуцта мавжуддир.
с) А² + В² + С² — 4 0 < 0. Бундан куринадики, фазода (15) ни
цаноатлантирувчи битта хдм нуцта мавжуд эмас. Умумийликни буз-
маслик учун бу вацтда (15) тенглама мавхум сферани аниклайди
деймиз.
Демак, (14) тенглама фа^атгина А² В² + С² — 4D>0 шартда
сферани аниклайди.
1-мисо л. 2х² + 2у² + 2z² — 2х + 4у + 2z — 5 = 0 сферанинг
маркази ва радиусини топинг.
Ечиш. Тенгламадан:
Демак, сферанинг маркази — 1, — ну^тада, радиуси эса 2 га тенг.
2-мисо л. (х— 2)² + y²A~z² — 4 сферанинг М (3; V2, 1) нуц- тасида унга утказилган уринма текислик тенгламасини ёзинг.
Ечиш. (8) тенгламага a_i;-(i, / = 1, 2, 3, 4) нинг цийматларини цуйиб, уринма текислик тенгламасини ёзиш х,ам мумкин эди, лекин биз бу ерда бошцача йул тутамиз. Бу ерда, сфера маркази О' (2, О, 0) нуцтада, радиуси эса 2 га тенг. Сферанинг М нукдада утказил­ган уринма текислиги сфера радиусига перпендикулярлиги сабабли МО вектор уринма текисликнинг нормал вектори булади. Аммо
/
246

ЛЮ'(—1, —|^л2, —1) демак. изланггн текислик тенгламаси (II боб, 13- §): /?ZV-X_O / +

-1 (х-3)-/2 (у-/2)-1(г-1) = 0
ёки
х + V 2у + г — 6=0.
21-§. Иккинчи тартибли цилиндрик сиртлар
Бирор П текисликда L иккинчи тартибли чизи^ хамда шу текис- ликка параллел булмаган и турри чизиц берилган булсин.
Т а ъ р и ф. и турри чизивда параллел ^амда L чизик билан ке- сишувчи фазодаги барча турри чизицлар туплами иккинчи тартиб­ли цилиндрик сирт деб аталади.
Таърифда ^атнашаётган L чизи^ шу цилиндрик сиртнинг йунал- тирувчиси, турри чизи^лар эса унинг ясовчилари дейилади.
Таърифдан фойдаланиб, аффин реперда S цилиндрик сирт тенг- ламасини келтириб чицарайлик. Соддалик учуй, йуналтирувчи чизиц- ни хОу текисликда оламиз:
А:Д(х, у) = 0. (16)
и турри чизи^нинг йуналтирувчи вектори и (I, т, п) (181-чиз- ма).
Ихтиёрий М (х, у, z) С S нуцтани оламиз. Шу М нуцтадан ут- ган ясовчининг хОу текислик билан кесишган нуцтаси IV (x_v у_х, 0) булсин. У ,\олда MN (х_х—х, у_х — у, —г) ва MN || и, яъни MN = = Хи. Бундан: х_х — х = X/, у_х — у = Х/п, — z = Х/г (« #= 0, чунки и'^хОу). — г = Кп дан X ни топиб, олдинги икки тенгликка куя-
миз:
1 т
_Х1 = X Z, у_х — у г.
п п
(17)
Ammo N С L=> F (х_х, у_х) = 0,
демак,
F(x -г, у — —z) = 0. (18)
\ п п )
Шундай цилиб, (18) тенг-
лама цилиндрик сиртнинг тенг-
ламасидир..
Демак, йуналтирувчиси F (х,
у) — 0 куринишдаги тенглама
билан берилган, ясовчилари
эса (/, т, п) векторга парал-
лел цилиндрик сирт тенглама-

247

сини ^осил килиш учун (16) даги х, у урнига мос равишда х-—- г,

п
у z ифодаларни цуйиш керак экан. и || Oz дан иборат хусу-
сий холда и || е₃=>и (О, 0, п) ва (18) тенглама ушбу куринишни олади:

(19)
Ажойиб хулосага келдик: ясовчилари Oz уеда параллел цилинд-
рик сирт тенгламаси йуналтирувчи тенгламасининг узгинасидир.
д<2 .2
Масалан, х О у текисликда эллипс Н — = 1 тенгламаси билан
берилган булса, бу тенглама фазода ясовчилари Oz уцца параллел цилиндрик сиртдан иборат.
Иккинчи тартибли цилиндрик сирт Ж — (0, е₂, е₃) аффин ре­
пер да берилган булсин: равшанки, бу тенглама иккинчи даражали- дир, сиртнинг ясовчиларига параллел булмаган П текислик билан кесиминч текширайлик.
Янги ей' = (О', е,', е', е'₃) аффин реперни шундай танлаб оламиз- ки, О нуцта билан е\, е₂ базис векторлар П да жойлашсин, е' эса и га параллел булсин. У ^олда ей дан ЗУ га утишда тенгламанинг даражаси сацлапгани учун S сирт »й' да ^ам иккинчи тартибли ци­линдрик сиртни ани^лайди, лекин бу тенгламада учинчи узгарувчи г' цатнашмайди (О' г' II и булгани учун).
Унинг ей' репердаги тенгламасини умумий холда цуйидагича ёзиш мумкин:
ЦцХ'² + 2а₁₂х'у' + а₂₂у'² + 2а'₁₃х' + 2а₂₃у' + а₃₃= 0. (20)
Демак, S билан П нинг кесишмасидан хосил булган геометрик об­раз умумий хрлда (20) тенглама билан аницланади. Бу (20) тенгла­ма эса П текисликдаги иккинчи тартибли чизицнинг умумий тенгла- масидир, шу иккинчи тартибли чизицнинг турига цараб иккинчи тар­тибли цилиндрни синфларга ажратиш мумкин. Бундан ташкари, (20) билан ани^ланадиган чизицни S нинг йуналтирувчиси сифатида ца- бул килсак ^ам булади. Демак, иккинчи тартибли цилиндрнинг йу­налтирувчи лари: эллипс, гипербола, парабола, иккита кесишувчи ту₽- ри чизик;, иккита узаро параллел (устма- уст тушмаган) тугри чизи^- лардан иборат булиши мумкин. Йуналтирувчилари шу чизи^лардан иборат иккинчи тартибли цилиндрик сирт лар мос равишда эллин тик цилиндр, гиперболик цилиндр, параболик цилиндр, иккита кеси-- шувчи текислик, иккита узаро параллел текислик (устма-уст туш­маган) деб юритилади (охирги иккитаси баъзан айниган цилиндр деб хам юритилади). Бу цилиндрларнинг тенгламасини декарт репе- рида (каноник ^олга келтириб) ёзамиз:
Эллиптик цилиндр — +— =1 (182-а чизма).
248