Ko’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar
Download 197,69 Kb.
|
KO’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4.Reja;Shturm qatori va Shturm teoremasi
- 5.Reja; Uchinchi va tortinchi darajali kophadlarning haqiqiy ildizlari
- Foydanilgan adabiyotlar
|
Ikkinchi tomondan, agar f (a + s) > 0 bo’lsa, u holda f (x) (a,a + s) oraliqda o’suvchi va shu sababli f'(a + s) > 0; shunga o’xshash f (a + s) < 0 dan f'(a + s) < 0 ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, a ildizdan o’tgach, f(x) va f ( x) laming ishoralari bir xil bo’lishi kerak. Isbotlashga asosan x son f (x) ko’phadning l karrali ildizidan o’tishida f (x), f' (x), ... , f (l-1\x), f(l )(x) sistema l ta ishora o’zgartirishini yo’qotishi kelib chiqadi. Endi a f(k)(x) , f(k+1)(x) , ... , f(k+l-1)( x), 1 < k < n -1, l > 1 hosilalarning ildizi bo’lib, na f(k-1)(x) ning va na f {k+1)(x) ning ildizi bo’lmasin. Yuqorida isbotlanganga asosan x ning a o’tishi f(k)(x) , f(k+1)(x) , ... , f (k+l-1)(x), f (k+l)(x) sistemada l ta ishora o’zgartirishini yo’qolishiga sabab bo’ladi. Albatta, bu o’tish f (k-1)(x) va f(k) (x) lar orasida yangi ishora o’zgarishini hosil qilishi ham mumkin, ammo l > 1 bo’lgani uchun x son a dan o’tganda f (k-1\x), f(kЧx) , f(k+1)(x) ,..., f (k+l-1\x), f ("k+l\x) sistemadagi ishora o’zgarishlar soni yo o’zgarmaydi, yoki kamayadi. Shu bilan birga u f(k—1)(x) va f(k+1)(x) ko’phadlar x a qiymatdan o’tayotganda o’z ishoralarini o’zgartirmaganliklari sababli, faqat juft songagina kamayishi mumkin. Hosil qilingan natijalardan, agar a va b (a < b) (1) sistemaning birorta ham ko’phadi uchun ildiz bo’lmasa, u holda f (x) ko’phadning a va b orasida joylashgan va har biri, uning karrasi qancha bo’lsa, shuncha marta hisoblanganhaqiqiy ildizlarining soni S (a) — S (b) ayirmaga teng yoki bu ayirmadan juft songa kam bo’lishi kelib chiqadi. a va b sonlarga qo’yilgan cheklanishlarni bir oz kamaytirish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz. c haqiqiy son garchi (1) sistemaning boshqa ko’phadlari uchun ildiz vazifasini bajarishi mumkin bo’lsa ham, f (x) ko’phadning ildizi bo’lmasin. S(+) (c) orqali
hisoblangan ishora o’zgarishlar sonini belgilaylik: agar (3) va (4) shartlar bajarilsa, u holda f(k+i)(c), 0 < i < l — 1 ko’phadning ishorasini: agar l — i ayirma juft bo’lsa, f (k+l) (c) ning ishorasi bilan bir xil, bu ayirma toq bo’lsa f (k+l )(c) ning ishorasiga qarama - qarshi deb hisoblaymiz. Endi a va b (a < b) (1) sistemaning qandaydir boshqa ko’phadlarining ildizlari vazifasini bajarsalarda, f (x) ko’phadning ildizlari bo’lmasin. f (x) ko’phadning a va b (a < b) lar orasida joylashgan haqiqiy ildizlari sonini aniqlamoqchi bo’lsak, quyidagicha ish tutamiz. s shunday yetarlicha kichik musbat son bo’lsinki, (a,a + 2s) oraliq f (x) ko’phadning ildizlarini va shuningdek (1) sistemaning qolgan barcha ko’phadlarining a dan boshqa ildizlarini o’z ichiga olmasin; ikkinchi tomondan, r shunday yetarlicha kichik son bo’lsinki, (b - 2r,b) oraliq ham f (x) ko’phadning ildizlarini va (1) sistemaning b dan farqli qolgan barcha ildizlarini o’z ichiga olmasin. U holda f (x) ko’phadning bizni qiziqtirayotgan haqiqiy ildizlarining soni, bu ko’phadning a + s va b -r lar orasida joylashgan haqiqiy ildizlarining soniga teng; ya’ni yuqorida isbotlanganiga asosan S(a + s) -S(b -r) ayirmaga teng yoki bu ayirmadan juft songa kichik bo’ladi. Ammo S(a + s) = S+ (a), S(b -rj) = S_ (b) ekanligini osonlikcha ko’rsatish mumkin. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi. Byudan - Fur'e teoremasi. Agar a va b (a < b) haqiqiy sonlar haqiqiy koeffitsientli f (x) ko’phadning ildizlari bo’lmasa, u holda bu ko’phadning a va b lar orasida joylashgan va har biri uning karrasi qancha bo’lsa, shuncha marta hisoblangan haqiqiy ildizlarining soni, S + (a) - S - (b) ayirmaga teng yoki bu ayirmadan juft songa kam bo’ladi. 4.Reja;Shturm qatori va Shturm teoremasi Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish masalasini ko`raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini ko`ramiz.Bu masalalarga bir muncha sodda bo`lgan Shturm metodini qo`llab javob beramiz.Noldan farqli bo`lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan 1, 3, -2, -5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1 (1) berilgan bo`lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik: + , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2) Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini, ketma-ket turganini ko`ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta ishora o`zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim topish mumkin. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phad berilgan bo`lsin va u karrali ildizga ega emas deb faraz qilaylik. Agar f(x) ko`phad karrali ildizlarga ega bo`lsa, u holda uni o`zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo`luvchisiga bo`lib yuborib har doin karrali ildizga ega bo`lmagan ko`phadni hosil qilishimiz mumkin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko`phadlarning tartiblangan chekli sistemasi f(x)= f0(x) , f1(x) , f2(x),...., fs(x) (3) f(x) ko`phadning Shturm sistemasi deyiladi. 1). (3) sistemaning qo`shni ko`phadlari umumiy ildizga ega emas. 2).Oxirgi fs(x) ko`phad haqiqiy ildizga ega emas. 3). Agar son (3) sistemaning oraliq ko`phadlaridan biri bo`lgan fk(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa,( 1 k s-1) u holda fk-1() va fk+1() qarama-qarshi ishoraga ega bo`ladilar. 4). Agar son f(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa, u holda x o`sa borib dan o`tganda f(x)f1(x) ko`paytma o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. f(x) ko`phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik.(Ixtiyoriy ko`phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko`ramiz) . Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlaridan ibrat bo`lmasa, u holda haqiqiy sonlarning f(c ) , f1(c ), f2( c ),....,fs( c) sistemasini olamiz, undan barcha nolga tenglarini o`chiramiz va W( c) orqali qolgan sistemaning ishora o`zgarishlar sonini belgilaylik. Ta`rif.W( c) ni f(x) ko`phadning (3) Shturm sistemasida x = c bo`lgandagi ishora o`zgarishlar soni deyiladi. Teorema.(Shturm teoremasi) Agar a va b (a < b) haqiqiy sonlar karrali ildizi bo`lmagan f(x) ko`phadning ildizlari bo`lmasa, u holda W(a) W(b) bo`ladi va W(a)-W(b) ayirma f(x) ko`phadning a va b orasida joylashgan haqiqiy ildizlari soniga teng bo`ladi. Isboti. Teoremani isbotlash uchun x o`sishi bilan W(x) son qanday o`zgarishini kuzatush etarli. x o`sa borib o`z yo`lida (3) Shturm sistemasining birorta ham ko`phadining ildizlarini uchratmasa, bu sistema ko`phadlarining ishoralari o`zgarmaydi, demak W(x) ham o`zgarmay qoladi.Shu sababli Shturm sistema ta`rifidagi 2) shartga asosan faqat ikkita holni ko`rish kifoya: x birorta oraliq fk(x) ,( 1 k s-1) ko`phadning ildizlaridan o`tishi va x ning f(x) ko`phadning o`zining ildizidan o`tishi. son fk(x), 1 k s-1 ko`phadning ildizi bo`lsin. U holda 1) shartga ko`ra, fk-1() va fk+1() lar noldan farqli. Demak, shunday musbat kichik son topish mumkinki, (- , +) oraliqda fk-1(x) va fk+1(x) ko`phadlar ildizga ega emas va demak ular ushbu oraliqda ishora saqlaydi.Bundan tashqari 3) asosan bu shoralar qarama-qarshidir. Bundan esa, ushbu fk-1(-) , fk(-) , fk+1(-) (4) va fk-1(+) , fk(+) , fk+1(+) (5) sonlar sistemalarining har biri fk(-) va fk(+) sonlar qanday ishoraga ega bo`lishdan qat`iy nazar faqat bittagina ishora o`zgarishiga ega bo`ladilar. Masalan, agar fk-1(x) ushbu qaralayotgan oraliqda manfiy bo`lsa, fk+1(x) esa musbat bo`lsa hamda fk(-) > 0 , fk(+) < 0 bo`lsa, u holda (4) va (5) sistemalarga ushbu - , + , + ; - , - , + ishoralar sistemasi mos keladi. Demak, x Shturm sistemasidagi birorta oraliq ko`phadining ildizidan o`tganda bu sistemaning ishora o`zgarishi faqat joyini o`zgartiradi (ya`ni suriladi), yangidan paydo bo`lmaydi va yuqolib ham ketmaydi, shu sababli W(x) son o`zgarmay qoladi. Endi f(x) ko`phadning o`zining ildizi bo`lsin. 1) ko`ra f1(x) uchun ildizbo`lmaydi. Shu sababli shunday son topiladiki (- , + ) oraliqda f1(x) ildizga ega bo`lmaydiba shu sababli f1(x) bu oraliqda ishora saqlaydi. Agar bu ishora musbat bo`lsa, u holda x 4) shartga ko`ra dan o`tganda f(x) o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi, ya`ni f(-) < 0 , f(+ ) > 0 Demak, f(-), f1(-) va f(+ ) , f1(+) (6) sonlar sistemasiga - , + va + , + ishoralar sistemalari mos keladi, boshqacha qilib aytganda Shturm sistemasida bitta ishora o`zgarishi yo`qoladi. Agar f1(x) ning (- , + ) oraliqdagi ishorasi manfiy bo`lsa, yana 4) ga ko`ra x dan o`tganda f(x) ko`phad o`z ishorasini musbatdan manfiyga o`zgartiradi, ya`ni f(-) > 0 , f(+ ) < 0 , (6) sonlar sistemasiga endi + , - va - , - ishoralar sistemalari mos keladi, ya`ni Shturm sistemasida yana bitta ishora o`zgarishi yo`qoladi. Demak,W(x) son x o`sa borib f(x) ko`phad ildizlaridan o`tgandagina o`zgaradi, shu bilan birga bu holda u roppa -rosa bitytaga kamayadi. Teorema isbotlandi. Tasdiq.Karrali ildizga ega bo`lmagan, haqiqiy koeffisientli har qanday f(x) ko`phad Shturm sistemasiga ega bo`ladi. Isboti.Quyidagi usul bilan Shturm sistemasini tuzaylik. f1(x) = f1(x) deb olaylik. Shturm sistemasi ta`rifidagi 4) shartni bajarilishini ko`rsataylik. Agar son f(x) ko`phadning ildizi bo`lsa, u holda f1()0 bo`ladi va demak f1() > 0 bo`lsa, u holda nuqta atrofida f1(x) > 0 va shu sababli f(x) x ni qiymati dan o`tganda ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi va demak f1(x)f(x) ko`paytma ham o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. Agar f1() < 0 bo`lsa, u holda nuqta atrofida f1(x) < 0 bo`ladi va f(x) х ni qiymati dan o`tganida ishorasini musbatdan manfiyga o`zgartiradi va demak f1(x)f(x) ham o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. So`ngra f(x) ni f1(x) ga bo`lamiz va bu bo`lishdan chiqqan qoldiqni teskari ishora bilan olib, f2(x) deb olamiz: f(x) = f1(x)q1(x)+r1(x) f2(x) = -r1(x) f3(x) deb esa quyidagi ko`phadni olamiz: f1(x)= f2(x)q2(x)+r2(x) f3(x)= - r2(x) va hakazo. fk-1(x) va fk(x) lar topilgan bo`lsin, u holda fk+1(x) quyidagicha topamiz: fk-1(x) = fk(x)qk(x)+rk(x) fk+1(x)= -rk(x) (5) Bu prosess f(x) va f1(x) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi bo`lgan birorta fs(x) da to`xtaydi. Olishimizga ko`ra f(x) va f1(x) ko`phadlar o`zaro tub bo`lgani uchun fs(x) birorta nolinchi darajali ko`phad bo`ladi. Biz tuzgan f(x)= f0(x) ,f1(x)= f1(x) , f2(x),...., fs(x) ko`phadlar sistemasi Shturm sistemasining ta`rifidagi 2) shartni bajarishini, ya`ni fs(x) haqiqiy ildizga ega emasligini va 1) shartni bajarilishini ko`rsataylik: faraz qilaylik fk(x) va fk+1(x) umumiy ildizga ega bo`lsin. U holda (5) ga asosan, fk-1(x) uchun ham ildiz bo`ladi va hakazo fk-2(x),fk-3(x) ,...f1(x),f0(x) lar uchun ham ildiz bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) va f1(x) ni o`zaro tub ekanligiga ya`ni f(x) ni karrali ildizga ega emasligiga ziddir. 3). shartni bajarilishi (5) dan kelib chiqadi. Agar fk() = 0 bo`lsa, u holda fk-1() = - fk+1() bo`ladi. Tasdiq isbotlandi. 5.Reja; Uchinchi va to'rtinchi darajali ko'phadlarning haqiqiy ildizlari Ta’rif 2.1 Kamida ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p noma’lumli ko’phad deyiladi.Ko’p noma’lumli ko’phadlar 2,3,4,...,n nomalumli bo’lishi mumkin. n noma’lumli ko’phad odatda f(x1,x2,...,xn) orqali belgilanadi. n nomalumli ko’phad xf xf2x3k3 ...xk ko’rinishdagi chekli sondagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda ki>0 (i=1,n) lar P sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir. Umuman olganda n noma’lumli ko’phadning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi. AiєP lar (2.1) ko’phad hadlarining koeffitsiyentlari deyiladi . Har bir yig’indi esa bu hadning darajasi deb ataladi . Hamma α1+....+αn β1+....+βn ----------------- ω1+....+ωn yig’indilar orasida eng kattasi (2.1) ko’phadning darajasi deyiladi. Masalan ratsional sonlar maydoni ustidagi ko’phadda birinchi hadning darajasi 2+1+3+0=6 ga,ikkinchi ko’phadning darajasi 4+1=5 ga, uchinchi hadning darajasi ham 2+3=5 ga va nihoyat, to’rtinchi hadning darajasi 1 ga , ko’phadning darajasi esa 6 ga teng, (2.1) ko’phadning ba’zi yoki hamma koeffitsiyentlari shuningdek ba’zi yoki hamma αi , βi , ...., ωi daraja ko’rsatkichlari nolga teng bo’lishi mumkin. Masalan, α1=α2=....=αn=0 , A2=A3=....=Ak=0 bo’lib A1 koeffitsiyent P maydonning istalgan elementini bildirsa, (2.1) ko’phad f(x1 , x2 , ....,xn)=A1 ko’rinishni oladi. Demak P maydonning hamma elementlari ham n o’zgaruvchili ko’phadlar deb hisoblanadi. Xususiy holda A2=A3=....=Ak=0 qiymatlar uchun nol ko’phad xosil bo’ladi biz uni f(x1 , x2 , ....,xn)=0 Ko’rnishda belgilaymiz. A1 ≠0 holda f(x1 , x2 , ....,xn)=A1 ni nolinchi darajali ko’phad deymiz . (2.1) ko’phaddagi x1 , x2 , ....,xn o’zgaruvchilar bir-biriga bog’liq emas, ularning har qaysisi mustaqil ravishda istalgan son qiymatni qabul qila oladi deb hisoblaymiz. Boshqacha aytganda har bir xio’zgaruvchining qiymatlari qolgan o’zgaruvchilarning qiymatlari bilan aniqlanmaydi, ya’ni xi o’zgaruvchi qolgan o’zgaruvchilarning funksiyasi emas .Bunday o’zgaruvchilar odatda erkli o’zgaruvchilar deyiladi. Aytilganlardan quyidagi natija chiqadi. Hamma A1 ,...,Ak koeffitsiyentlardan aqalli bittasi nolga teng bo’lmasa ko’phad ham nolga teng bo’la olmaydi. Haqiqatan, tenglikdan har bir xi (i=1 ,n) qolgan o’zgaruvchilarning oshkormas funksiyasi ekanini ko’ramiz. Demak A2 = A3 = .... = Ak shartdagina (2.1) ko’phad aynan nolga teng. Ta’rif . Ko’phadning hamma hadlari bir xil m-darajali bo’lsa, ko’phad mdarajali bir jinsli ko’phad yoki m- darajali forma deyiladi. Masalan. ko’phad 6- darajali formadir.Birinchi darajali forma chiziqli forma, ikkinchi darajali forma kvadratik forma, uchinchi darajali forma esa kubik forma deyiladi. Endi P sonlar maydoni ustida berilgan ikkita n no’malumli ko’phad uchun qo’shish va ko’paytirish amallarini kiritamiz. ko’phadlarni qo’shish deb, ulardagi mos hadlarning koeffitsiyentlarini qo’shishni tushunamiz. hadlar mos yoki o’xshash hadlar deyiladi. Agar biror had f va ko’phadlarning faqatgina bittasida uchrasa ikkinchi ko’phaddagi maskur hadning koeffitsiyenti nol deb olinadi. Ikkita va kabi hadlarning ko’paytmasi deb Ifodani tushunamiz. Masalan kompleks sonlar maydoni ustida f(x1 , x2 ,x3) = (1+i) x1 x2 –ix2 x32 +x2 va (x1 , x2 ,x3) =3x1 x2 +i x3 ko’phadlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi quyidagilarga teng. XULOSA. Ushbu kurs ishi algebra va sonlar nazariyasi fanining hozirgi vaqtda rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lgan ko’pharlar, ayniqsa simmetrik ko’phadlar va ularning tadbiqlari haqida yozilgan bo’lib ishda asosan quyidagi natijalarga erishilgan: Bir noma’lumli ko’phadlar ustida amallar, ko’phadlarning funksional ma’noga tengligi, ko’phadlarning qoldiqli bo’linishi ko’phad ildizlari va ko’phadni ikkihadga bo’lish, ko’phadlarning bo’linishlari tahlil qilingan; Ko’p noma’lumli ko’phadlar, ko’p noma’liumli ko’phadlar halqasi, ko’phad darajasi, ko’phadlarning tengligi va n noma’lumli ko’phadlarning halqa tashkil qila bilishi isbot qilingan; Simmetrik ko’phad, simmetrik ko’phadning simmetrik funksiyasi, asosiy simmetrik funksiyalar, asosiy simmetrik funksiyalarning nolga teng bo’lishi haqidagi teorema va simmetrik ko’phadlar nazariyasining asosiy teoremalari isbot qilingan; Ikki o’zgaruvchili simmetrik ko’phadlarning elementar algebra misol va masalalariga tadbiqlari atroflicha o’rganilgan. Shunday qilib, ushbu kurs ishi maktab o’quvchilari, kollej, akademik litsey talabalari va yosh matematik o’qituvchilarning ko’phadlar sohasidagi o’z bilimlarini yanada oshirishda muhim ahamiyatga ega bo’ladi deb hisoblaymiz. Foydanilgan adabiyotlar 1.Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru.Uchebnik.M.Nauka,1977g. 2.Hojiev J., Faynleyb.F.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. T. 2001 y. 3.Kurosh F.G. Oliy algebra kursi. T.Ukituvchi . 1976 y.. 4.Fadeev D.K.,Sominskiy I.S.Sbornik zadach po visshey algebre. M.Nauka .1976 g. 5. Gelfand I.M. Lektsii po lineynoy algebre. http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru. 6. Kurosh A.G. Kurs visshey algebre http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru. 1 Download 197,69 Kb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
kiriting | ro'yxatdan o'tish
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish