Ko‘phad uchun Teylor formulasi. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Ba’zi funksiyalarning Teylor formulalari”

Nyuton formulasi va uning Teylor formulasi bilan aloqadorligi.
Aytaylik bizga funksiya berilgan bo’lsin,bu yerda .
Makloren formulasini tadbiq etib,



Larni hosil qilib,bulardan



ni hosil qilamiz. U holda bu funksiya uchun Makloren formulasi quyidagicha bo’ladi:


Bu yerda

Agar bo’lsa,u holda -chi tartibli xosilalardan boshlab keyingi hadlar nolga teng bo’ladi, ya’ni Nyuton binomini hosil qilamiz:

Demak, Nyuton binomi formulasi Teylor formulasining xususiy xoli ekan.

Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

1. 
   funksiya uchun Makloren formulasi.
   

funksiyaning oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud

Bunda da va hosil bo‘ladi. Olingan natijalarni (1.7) formulaga qo‘yib
(5.1)
bu erda formulaga ega bo‘lamiz.
1-chizmada funksiya va ko‘phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.
Agar bo‘lsa,
(5.2)
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.


(1-chizma)
Haqiqatan ham, faraz qilaylik, - ratsional son bo‘lsin. Bunda bo‘lganligi uchun bo‘ladi. (2.2) da desak,

Bu tenglikning ikkala tomonini (1-chizma) ko’paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(5.3)
Bu yerda sonni dan katta deb olishimiz mumkin. U holda , bo’lganligi uchun
(5.4)
bo‘ladi. Shuningdek, bo’lganligi uchun -butunson, chunki da q ga teng bo’lgan ko’paytuvchi uchraydi.
Ravshanki , ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, uchun (2.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (1.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun – irratsional son bo‘ladi.⁴