Ko‘phad uchun Teylor formulasi. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Ba’zi funksiyalarning Teylor formulalari”

Kurs ishning maqsadi: “Ko‘phad uchun Teylor formulasi. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Ba’zi funksiyalarning Teylor formulalari” mavzusini chuqur o’rganish.
Kurs ishining predmeti: Funksiya va ko’phadlarda Teylor formulasi o’rni
Kurs ishning vazifalari:
1.Teylor va Makloren formulalariniо’rganish;
2. Teylor qatoriga yoyishnio’rganish.
3.Makloren qatoriga yoyishnio’rganish.
Kurs ishining tuzilishi: Kirish asosiy qism va xulosa, ydalanilgan adabiyotlar va internet saytlari, 25 sahifadan iborat


Teylor va Makloren formulasi
Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o’zining juda ko’p ilmiy
ishlari bilan katta xissa qo’shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk
kashfiyotlaridan biri, o’zining 29 yoshida, ya’ni 1715 – yilda yaratgan nazariyasi bilan matematika tarixida o’chmas iz qoldirdi¹.
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
_{Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar} funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.Boshqacha aytganda nuqtada differensiallanuvchi funksiya uchun birinchi darajali
(1.1)
ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
(1.2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
(1.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda
(1.4)
shartlardan foydalanamiz. Avval ko‘phadning hosilalarini topamiz:

Yuqorida olingan tengliklar va (1.3) tenglikning har ikkala tomoniga o‘rniga ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:

Bulardan ni hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (1.3) qo‘yamiz va
(1.5) ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (1.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz:
(1.4) shartlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning tipidagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini marta tatbiq qilamiz. U holda

Demak da o‘rinli ekan.
Teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda da quyidagi formula

(1.6) o‘rinli bo‘ladi, bu erda Peano ko‘rinishidagi qoldiq had.
Agar (1.6)formulada deb olsak, Teylor formulasining xususiy holihosil bo‘ladi:
(1.7)
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.²