Ko‘phad uchun Teylor formulasi. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Ba’zi funksiyalarning Teylor formulalari”

Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi.
Teylor formulasi  qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud. Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan  funksiya  nuqta atrofida –tartibli hosilaga ega bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi funksiyani kiritamiz. Ravshanki,

Ushbu
va
funksiyalarga Koshi teoremasini tatbiq qilamiz. Bunda 

e’tiborga olib, quyidagini topamiz:

Buyerda 

Shunday qilib, biz

ekanligini ko‘rsatdik, buyerda 
_.
Endi


ekanligini e’tiborga olsak quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
(2.1)
bu (2.1) formulani Teylor formulasining Lagranj ko’rinishidagi 
qoldiq hadi deb ataladi.³
Lagranj ko’rinishdagi qoldiq hadni
(2.2)
ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu yerda birdan kichik 
bo‘lgan musbat son, ya’ni  .
Shunday qilib,  funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagi shaklda yoziladi:

bu yerda _.
Agar bo‘lsa, u holda
bu yerda , bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
(2.3)
shaklida yoziladi.
Teylor formulasining Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadi.
Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko`rinishlariga misol tariqasida Koshi ko`rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun

yordamchi funksiyani tuzib olamiz va segmentda uzluksiz, intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo`lgan biror funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo`llasak,
(3.1)
ko`rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.1) formulada funksiya sifatida funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz: