Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Diofant tenglamalarini yechishda Legandr simvolidan foydalanish
(_{ }


Misol 1. Tenglamani butun sonlarda yeching:

Yechim:_{ }
Ferma teoremasiga ko’ra _{ }mod _{ }, bundan kelib chiqadiki,
_{ }mod_{ }
x+y+z=a
_{ }mod_{ }
4∙_{ }mod_{ 
 }mod_{ 
 }mod_{ }
(_{ }bu tenglikni soddalashtirib, (_{ })=1 tenglikga ega bo’lamiz. Lekin bizda (_{ }
(_{ } ziddiyat.
Demak ushbu tenglama butun sonlarda yechimga ega emas ekan.
Misol 2. (Serbiya-2007)
Tenglamani natural sonlarda yeching

Yechim:(mod 3)dan n-juft son ekanligini topamiz.n=2da x=1. n_{ }bo’lsin_{ }
x=8k+1,8k+3,8k+7 hollari osongina (mod 8) dan yechimga ega emasligi kelib chiqadi. Endi x=8k+5 holini qaraymiz.

(x+1)(_{ }
(x+1)(_{ 
 }(mod 8)_{ } ushbu taqqoslamadan shunday p tub son mavjudki,
_{ }(mod p)_{ }va p=8m+5 yoki p=8m+7.
_{ }mod_{ } ,_{ } deb belgilab olsak_{ }

2_{ }mod_{ }, 4_{ }mod _{ }, _{ }mod _{ }

(-_{ }
Lekin, (-_{ }
p=8m+5,p=8m+7 bo’lsa ham _{ }

ziddiyat, tenglama n_{ }larda natural yechimga ega emas ekan.

Javob:(1,2).
Mustaqil yechish uchun tenglamalar:

1. (Bolgariya-1998)._{ } natural sonlar bo’lsa va quyidagi shartni qanoatlantirsa,

_{ }=_{ }
isbotlang, _{ } toq son.
2._{ }nomanfiy butun sonlar_{ }barcha _{ } natural sonlar uchun to’la kvadrat bo’lsa, ushbu sonlarning kamida nechtasi 0ga teng.
3. Tenglamani natural sonlarda yeching:

4. _{ } natural son uchun _{ }tenglama butun ildizga ega bo’lsa, isbotlang ushbu tenglama kamida 3 ta butun ildizga ega.
5. (Hong-Kong-2008)
Quyidagi taqqoslama _{ }, tub sonlarda yechimga ega ekanligini ko’rsating:

6. (Eron-2014)
Quyidagi tenglama barcha _{ }natural sonlarda chekli yechimga ega ekanligini ko’rsating:
_{ }=_{ }
7. (Turkiya-2016)
Tenglamani tub sonlarda yeching:

8. (Moldova-2017)
Quyidagi tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching: