Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Pell tenglamalari.


_{ } (1)
D to’la kvadrat bo’lmagan natural son. Ushbu tenglama ildizlari umumiy ko’rinishi quyidagicha _{ }
bu yerda (_{ }fundamental yechimi (1,0)dan farqli, _{ 
 } (2) tenglamani natural sonlarda yechimi bilan tanishib chiqamiz (_{ },b natural sonlar). Agar _{ }∙b to’la kvadrat bo’lsa tenglama natural ildizlarga ega emas, agar to’la kvadrat bo’lsa, ildizlari umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

(A,B) tenglamaning minimal ildizi. (_{ }tenglamaning ildiz-lari umumiy ko’rinishi.
Misol 1.Tenglamani natural sonlarda yeching:
6_{ }
Yechim: Eng kichik yechimi (A,B)=(1,1). Endi _{ } tenglamani Pell tenglamasidan (1) foydalanib ishlaymiz. Fundamental yechimi (11,2). Demak shartdagi tenglamaning ildizlari umumiy ko’rinishi quyidagicha (2ga ko’ra)
_{ }, bu yerda _{ } ,_{ } Tenglama ildizlarini quyidagicha tasvirlash ham mumkin:


Misol 2. (Cono Sur olimpiadasi-1997)
Ushbu tenglama natural sonlarda cheksiz ko’p yechimga ega ekanligini isbotlang:
2_{ }
Yechim: a=31, b=5x, c=15y deb olsak (x,y natural sonlar) tenglama ko’rinishi qu-yidagicha bo’ladi:

Ushbu tenglama esa Pell tenglamasiga ko’ra cheksiz ko’p yechimga ega, funda-mental yechimi (_{ }
Misol 3. (Ruminiya-2011)
n sonini yaxshi deymiz, agar (_{ } soni tarkibida farqi n ga teng bo’lgan ikkita natural bo’luvchisi topilsa. Yaxshi sonlar cheksiz ko’pligini isbotlang.
Isbot: Ushbu tenglama natural sonlarda cheksiz ko’p yechimga ega ekanligini isbotlash kifoya.


n ga bog’liq kvadrat tenglama desak, diskriminant to’la kvadrat bo’ladigan cheksiz ko’p juftlik borligini isbotlash yetarli.
D=5_{ }
5_{ 
 }=2_{ } deb olsak,
5_{ }-_{ }
Hosil bo’lgan tenglama esa cheksiz ko’p yechimga ega, minimal ildizi (1,2) (2 ning a=5, b=1 holi).
Misol 4. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-1999, shortlist)
Ikkita qat’iy o’suvchi natural sonlardan iborat (_{ }va_{ } ketma-ketliklar topili-shini isbotlangki, bunda

Isbot:
_{ } (k o’zgarmas natural son)
4_{ }
4_{ }
k∙_{ }
k=5 deb olsak, _{ }
5_{ }

5_{ }
Ushbu tenglama esa cheksiz ko’p yechimga ega, minimal ildizi (1,2).