Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Aralash bo’lim.

Nisbatan oson bo’lgan diofant tenglamalar

Tenglamani butun sonlarda yeching(1-48)
1_{ }
2._{ }
3. _{ }
4. 6_{ }
5. _{ }
6. _{ }
7. _{ }
8. _{ }
9._{ }
10. _{ }
11. _{ }
12. _{ }
13. _{ }
14. _{ }
15. 15_{ }
16. 19_{ }
17. _{ }
18. _{ }
19. _{ }
20. _{ }
21. _{ }
22. _{ }
23. _{ }
24. _{ }
25. _{ }
26. 2_{ }
27. _{ }
28. _{ }
29. 1_{ }
30. _{ }
31. _{ }
32. _{ }
33. _{ }
34. _{ }
35. _{ }
36. 19_{ }
37. _{ }
38. _{ }
39. _{ }
40. _{ }
41. _{ }
42. _{ }
43. _{ }
44. _{ }
45. _{ }
46. _{ }
47. _{ }=_{ }
48. _{ }
49. Quyidagi tenglamani qanoatlantiruvchi 7 ta butun sonlar juftligini aniqlang:

50. Quyidagi tenglamaning butun sonlardagi yechimlaridan kamida 2018 tasini aniqlang:

51. Quyidagi tenglamani butun sonlardagi yechimlar soni nechta?

52. Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:

53. Quyidagi tenglama butun sonlarda yechimga ega emasligini isbotlang:

54. Quyidagi tenglama cheksiz ko’p _{ } tub son uchun kamida bitta butun yechimga ega bo’lishini isbotlang:

55. Ushbu tenglamani natural sonlarda yeching(55-64)
1+_{ }
56. _{ }
57. _{ }
58. _{ }+_{ }
59. _{ }
60. _{ }
61. 3_{ }
62. (Belorussiya-1997)

63. _{ }
64. Isbotlang: _{ }

Murakkab diofant tenglamalar

1.Quyidagi tenglamani qanoatlantiruvchi kamida bitta natural sonni toping:

2.Agar 21982145917308330487013369 soni biror natural sonning 13-dara-jasi ekanligi ma’lum bo’lsa, shu sonni toping.
3. _{ }+_{ } tenglikni qanoatlantiruvchi 2018 dan katta natural sonlar mavjudmi?
4. Tenglamani ratsional sonlardan iborat yechimlarini toping:

5. _{ } tenglamaning ratsional yechimlarini toping.
6. _{ } tenglamaning ratsional sonlardan iborat yechimlari cheksiz ko’p ekanligini isbotlang.
7. (Polsha)

tenglikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar juftliklarini aniqlang.
8. (Bolgariya)

tenglamaning butun sonlardan iborat yechimlari cheksiz ko’p ekanligini isbotlang.
9. Quyidagi tenglama butun sonlarda cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladigan barcha _{ } butun sonlarni toping:

10. Tenglamani natural sonlarda yeching:

11. (Hindiston)
_{ }=1, _{ }
munosabatni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchliklarini aniqlang.
12. Tenglamani natural sonlarda yeching:

13. Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:

14. Quyidagi tenglamani barchasi noldan farqli yechimlari cheksiz ko’p ekan-ligini isbotlang:

15. (Xalqaro Jautikov Olimpiadasi-2006)
Ushbu shartni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlarni toping:

_{ }-Eyler funksiyasi.
16. (Taiwan)
Tenglama natural sonlarda yechimga ega bo’ladigan barcha _{ } natural sonlarni toping:

17. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar to’rtligini toping:
i)._{ }
ii). _{ }
18. _{ }
shartni qanoatlantiradigan barcha natural sonlar to’rtligini toping.
19. Tenglama butun sonlarda yechimga ega bo’ladigan barcha _{ } natural sonlarni toping:

20. 6∙(6_{ }
tenglama butun sonlarda _{ } dan boshqa yechimlarga ega emasligini isbotlang.
21. (Polsha-2005)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

22. (Xitoy-2005)
Tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching:

23. (Singapur-2007)
Tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching:

24. (Avstriya)
Berilgan tenglamaning butun sonlardan iborat barcha yechimlarini toping:

25. _{ } tenglikni qanoatlantiradigan _{ } lar cheksiz ko’p ekanligini isbotlang, bu yerda _{ } lar mos ravishda tomonlari butun sonlardan iborat bo’lgan uchburchakning yarim perimetri, ichki chizilgan aylana radiusi.
26. Faraz qilaylik _{ } lar _{ }
shartni qanoatlantiruvchi natural sonlar bo’lsin.

tenglikni qanoatlantiradigan turli butun sonlar uchliklari cheksiz ko’p ekan-ligini isbotlang.
27. Quyidagi sistemani barcha butun yechimlarini toping:

28. (Belorussiya)
Tenglamani butun sonlarda yeching:
y(_{ }
29. Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:

30. Tenglama butun sonlarda yechimga egami?

31. (Xitoy-2006)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

32. (Fransiya-2005)
_{ } natural sonlar bo’lib, quyidagi shartni qanoatlantiradi:
3_{ }
Isbotlang: |x-y| to’la kvadrat son.
33. Tenglama butun sonlarda yechimga egami?
5_{ }
34. (Italiya)
Tenglama butun sonlarda cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishini isbotlang:

35. Agar 34_{ }=95232799_{ }96041408476186096435_{ }000000 ekanligi ma’-lum bo’lsa,_{ }larni toping.
36. Agar n_{ }bo’lsa,
_{ }=_{ }
tenglama natural sonlarda yechimga ega emasligini ko’rsating.
37. (_{ }tenglama butun sonlarda yechimga ega emasligini isbotlang.
38. (Avstriya)
_{ }ifoda to’la kvadrat bo’ladigan barcha _{ } natural sonlarni toping.
39. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2003, shortlist)
_{ }-berilgan natural son bo’lsa, isbotlang:

tenglama natural sonlarda cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladimi?
40. (Buyuk Britaniya)
Natural sonlarda yeching:

41. Natural sonlarda yeching:
_{ }=49+20_{ }
42. Istalgan _{ } lar uchun |_{ } bo’ladigan barcha o’zaro tub to’rt xonali sonlarni toping.
43. Agar _{ } natural sonlar _{ }=_{ }tenglikni qanoatlantirsa, _{ } to’la kvadrat son ekanligini isbotlang.
44. Quyidagi shartni qanoatlantiradigan barcha natural sonlarni toping:
_{ }+2=_{ }
45. (Balkan Xalqaro Olimpiadasi-2016, shortlist)
Barcha to’rt xonali sonlarni topingki,
_{ }
ushbu shartni qanoatlantirsin.
46._{ } lar istalgan ikkitasi o’zaro tub natural sonlar bo’lsin. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlarni toping:
(_{ })(_{ }
47. Tenglamani butun sonlarda yeching:

48. (Eron)
Agar _{ } natural sonlar bo’lib, quyidagi tenglikni qanoatlantirsa:

isbotlang_{ }=_{ }
49. Tenglamani natural sonlarda yeching:

50. (Belorussiya)
Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:
_{ }=_{ }
51. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha ratsional sonlarni toping:

52. (Bolgariya)
_{ }-biror natural son bo’lsin.
_{ }+_{ }
tenglama musbat ratsional sonlarda yechimga ega emasligini ko’rsating.
53. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2003)
Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlarni toping:

54. (Braziliya-2010)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

55. (Avstriya-2011)
Ushbu shartni qanoatlantiradigan barcha butun sonlarni toping:

56. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2006)
Tenglamani butun sonlarda yeching:
1+_{ }
57. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2006, shortlist)
Tenglamani butun sonlarda yeching:

58. _{ }
shartni qanoatlantiradigan barcha butun sonlarni toping.
59. Tenglamani butun sonlarda yeching:

60. Ixtiyoriy natural n soni uchun quyidagi tenglama butun sonlarda yechimga ega ekanligini isbotlang:

61. (Ispaniya-2012)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

62. (Qirg’iziston-2010)
Quyidagi tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching:

63. (Yaponiya-2014)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

64. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2007, shortlist)

bo’ladigan barcha natural sonlarni toping.
65. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2008, shortlist)
_{ } bizga berilgan natural son bo’lsin. _{ } esa tub son bo’lsin. Agar _{ } natural sonlar uchun quyidagi shart bajarilsa,

isbotlang: _{ }
66. Agar _{ } tub son bo’lsa, quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:

67. Tenglamani butun sonlarda yeching:

68. Quyidagi tenglamani butun sonlarda yechimi yo’qligini isbotlang:

69. Tenglamani butun sonlarda yeching:

70. (Yaponiya-2017)
_{ } natural sonlar bo’lsa, isbotlang:

71. Ushbu ifodaning eng kichik qiymatini toping:
|_{ }, bu yerda _{ } natural sonlar.
72. (Polsha-2014)
Tenglamani natural sonlarda yeching:

73. (Makedoniya-2014)
Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching:

74. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2010, shortlist)

75. Tenglamani butun sonlarda yeching:

76. Tenglamani butun sonlarda yeching:

77. Quyidagi tenglamani butun sonlardan iborat yechimlarini toping:

78. Ushbu tenglamani natural sonlarda yeching:

79. (Xitoy-2009)
Ushbu shartni qanoatlantiradigan barcha _{ }tub sonlarni toping:

80. (Gretsiya-2012)
_{ } nomanfiy butun sonlar va _{ } tub son bo’lsa, quyidagi tenglamani yeching:

81. Tenglamani butun sonlarda yeching:

82. Quyidagi tenglama butun sonlarda faqatgina bitta yechimga ega ekanligini isbotlang:

83. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2011, shortlist)
_{ }barcha natural sonlarini topingki, ixtiyoriy _{ } natural son uchun
shunday _{ }natural soni topiladiki, quyidagi shart o’rinli bo’ladi:

84. Tenglamani butun sonlarda yeching:

85. (AQSH-2015)
Tenglamani butun sonlarda yeching:

86. Tenglamalar sistemasi butun sonlarda yechimga ega emasligini isbotlang:

87. Butun sonlarda yeching:

88. Tenglamalar sistemasi butun sonlarda yechimga ega emasligini isbotlang:

89. (Iberoamerikan Olimpiadasi-2016)
Tenglamani tub sonlarda yeching:

90. Istalgan _{ }n natural sonlari uchun quyidagi ifodalarning hech biri to’la kvadrat bo’la olmasligini isboylang:
i). 2(_{ }
ii). _{ }
91. Tenglama natural sonlarda yechimga ega emasligini ko’rsating:

92. (Xorvatiya-2009)
Ushbu shartni qanoatlantiradigan barcha natural sonlarni toping:
|_{ }
93. (Fransiya-2012)
_{ } bizga berilgan tub son. Quyidagi shartni qanoatlantiradigan barcha natural
sonlarni toping:

94. (Gretsiya-2013)
Tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching:

95. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2012, shortlist)
_{ } butun soni yaxshi deyiladi, agar
(_{ }
tenglama natural sonlarda yechimga ega bo’lsa.
i). 1, 2,…, 2012 sonlari ichida kamida 500 ta yaxshi son bor
ii). 2 yaxshi sonmi?
96. (Eron-2013)
Tenglamani butun sonlarda yeching:
(_{ }
97. (Bosniya va Gersagovina-2014)
Tenglamani nomanfiy butun sonlarda yeching:

98. (Xalqaro Matematika Olimpiadasi-2014, shortlist)
Barcha _{ } tub va _{ } natural sonlarini topingki, (_{   } ning darajasi bo’lsin.
99. (Germaniya-2010)
Quyidagi tenglamani natural sonlarda yeching;

100. (Xalqaro Matematika Olimpidasi-2015)
_{ } larning har biri 2 ning qandaydir darajalari bo’lsa, _{ } natural sonlarni toing.