Ko’paytuvchilarga ajratish usuli Misol 1

Javob: (1827,145) va (170,145)
Misol 2. (Polsha-2011)
_{ }natural son bo’lsa, tenglamani yeching:
(2_{ }+3_{ } (2_{ }+3_{ }… (2_{ }+3_{ }=_{ }
Yechim:
(2_{ }
(_{ }
(2_{ }
Yuqoridagi ayniyatlarga ko’ra
(2_{ }+3_{ } (2_{ }+3_{ }… (2_{ }+3_{ }2_{ }
2_{ }
(mod 3)dan m=3_{ }ekanligini topamiz.
2∙9_{ }, _{ }=3_{ }
6_{ }+_{ }, n=3_{ }
2_{ }+3_{ }
Ushbu holni davom ettirsak, m va n 3 ning yetarlicha katta darajasiga bo’linaver-yapti, bundan esa ziddiyat. Tenglama natural sonlarda yechimga ega emas.
Misol 3. (Shimoliy Koreya-2013)

yuqoridagi tenglama ixtiyoriy _{ } natural son uchun kamida bitta natural sonlarda yechimga ega ekanligini isbotlang.
Isbot: _{ }(<sub> 
 


   </sub> natural sonlar

Ushbu ketma-ketlikga qarasak, _{ }

Induksiyadan _{ },tenglikni isbotlaymiz, undan

_{ }=_{ }=_{ 
 }=_{ 
 }=<sub> 


 </sub> deb olsak, _{ }=4_{ } ekanligi kelib chiqadi.
_{ }4_{ 
 }=2_{ }(16_{ }
Tenglamani ixtiyoriy _{ } natural sonda kamida bitta natural sonlarda yechimga ega ekanligini isbotladik.
Misol 4. (Xorvatiya-2016)
Tenglamani tub sonlarda yeching:
_{ }(_{ }
Yechim:
Agar _{ } bo’lsa, tub sonlarda yechimga ega emas. Endi _{ }bo’lsin.

_{ }(_{ }
2_{ }
D=_{ }
Agar _{ }bo’lsa, _{ }
Demak _{ } ekanligi kelib chiqadi. 10 ta holni qarab chiqsak, faqatgina _{ }=5 da gina yechimga ega.
Javob:(_{ })=(13,31)
Misol 5. Tenglamani butun sonlarda yeching:

Yechim: Bir nechta foydali lemmalar bilan tanishib chiqsak.
Lemma 1. _{ }, _{ }=4k+3 ko’rinishidagi tub son bo’lsa,_{ }u holda
_{   }.
Lemma 2. (4_{ }+3) ko’rinishidagi sonning tarkibida shunday bitta tub bo’luvchi to-piladiki, u _{ }=4_{ }+3 ko’rinishida va sonning kanonik yoyilmasida toq daraja bilan qatnashadi.
(_{ }
2-lemmaga ko’ra tenglikning chap tomoni kanonik yoyilmasida (4m+3) ko’rinishi-dagi tub son toq daraja bilan qatnashadi. 1-lemmaga ko’ra o’sha tub son tenglik-ning o’ng tomoni kanonik yoyilmasida juft daraja bilan qatnashadi, ziddiyat. Agar _{ } juft son bo’lsa, _{ } va _{ }ning ham juft sonligi kelib chiqadi_{ } Tenglikning ikkala to-monini ham 4 ga bo’lib yuborib, yuqoridagi ishni takrorlaymiz. Tenglama butun sonlarda yechimga ega emas ekan.
Misol 6. (Xalqaro Metropolises Olimpiadasi-2017)
_{ } natural sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’lsa,
_{ }(_{ }+2,_{ }+2)-_{ }(_{ }+1,_{ }+1)=_{ }(_{ }+1,_{ }+1)-_{ })
isbotlang, _{ }yoki _{ }
Isbot:
Lemma: _{ }, _{ }
Lemmaga ko’ra,
_{ }+_{ }
Umumiylikga zarar yetkazmagan holda_{ } bo’lsin.
_{ }+_{ 
 }-_{ 
 }ekanligidan, _{ }=_{ } ekanligini topamiz.
Oxirgi tenglikni dastlabki tenglamaga olib borib qo’ysak, quyidagi tenglik hosil bo’ladi:
_{ }=_{ 
 } bo’lsin. _{ }


1_{ }ga ya’ni _{ } ekanligini isbotladik.
Misol 7. (AQSH-2012)

Ushbu shartni qanoatlantiradigan _{ } natural sonlar mavjudmi?
Yechim:
_{ } yechim bo’lsa_{ }ham yechim bo’lishini osongina tekshirib ko’rishimiz mumkin. (1,1,1) yechim bo’lishini hisobga olsak, ushbu tenglama cheksiz ko’p yechimga ega ekanligiani topamiz.
Demak ushbu shartni qanoatlantiradigan _{ } natural sonlar mavjud.