Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar, ularningnlimiti, uzluksizligi «Matematik analiz asoslari»

12.3-ta’rif. Ushbu { x=( :

)} (12.16)

Xususan bo`lsa, (12.16) ochiq parallelepiped ochiq kubga aylanadi va uni kabi belgilanadi. Shunday qilib fazo nuqtaning ikki xil atrofiga ta’rif berildi.

12.1-lemma nuqtaning har qanday sferik atrofi olinganda ham har doim nuqtaning shunday parallelepipedial atrofi mavjudki, bunda

bo`ladi.

Shuningdek nuqtaning har qanday parallelepideal atrofi olinganda ham har doim shu nuqtaning shunday sferik atrofi mavjudki, bunda

bo`ladi.

Isbot. nuqtaning sferik atrofi ={ } berilgan bo`lsin. Bundagi songa ko`ra




tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonni olamiz. So`ng nuqtaning ushbu

={x=( :

}

parallelepipedial atrofini tuzamiz.

bo`lsin. Unda bo`lib,



bo`ladi. Yuqoridagi



tengsizlikni e’tiborga olib topamiz: = .

Demak, . Bu esa ekanini bildiradi. Shunday qilib, , ya`ni bo`ladi.

nuqtaning ={ x=( :

)} parallelepipedial atrofi berilgan bo`lsin. Unda



ni olib , nuqtaning sferik atrofi ={ } ni tuzamiz. bo`lsin. U holda

= ) bo`ladi.

Demak, ). Bundan esa x bo`lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, , ya’ni

bo`ladi.

Lemma isbot bo`ldi.

fazoda biror G to`plam berilgan bo`lsin: G Agar nuqtaning shunday biror -atrofi mavjud bo`lsaki, bu atrofning barcha nuqtalari shu G to`plamga tegishli bo`lsa G),u holda nuqta G to`plamning ichki nuqtasi deb ataladi.

Misollar.1. Ochiq shar

A={ } ning barcha nuqtalari uning ichki nuqtasi bo`ladi. Buni isbotlaylik. nuqtani olib , ushbu tenglik bilan aniqlanadigan sonini olamiz. Ravshanki, bo`ladi. Markazi nuqtada, radiusi bo`lgan



Ochiq shar nuqtaning sferik atrofi bo`lib, yuqoridagi A to`plamning qismi bo`ladi. Haqiqatdan ham, bo`lib, masofaning 3-xossasiga ko`ra

+ bo`ladi. Demak, Bu esa ekanligini bildiradi. Bundan A ochiq sharning har bir nuqtasi ichki nuqta ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   Ushbu C=A to`plamning nuqtalari orasidagi uning ichki nuqtasi bo`lmagan nuqtalar bor. Masalan, nuqtaning ixtiyoriy sferik atrofini olganimizda ham, unga tegishli bo`lgan
   
   
   nuqta C to`plamga tegishli bo`lmaydi.
   

12.4-ta`rif. G to`plamning har bir nuqtasi uning ichki nuqtasi bo`lsa, bunday to`plamm ochiq to`plam deb ataladi. Masalan, ochiq shar ochiq to`plam bo`ladi. fazoda biror F to`plam va biror nuqta berilgan bo`lsin: F ,

12.5-ta’rif. Agar nuqtaning istalgan sferik atrofi da F to`plamning dan farqli kamida bitta nuqtasi topilsa, nuqta F to`plamning limit nuqtasi deb ataladi. Ushbu ochiq to`plam ning atrofi deyiladi. (0=(0,0,0,…,0)) . Qaralayotgan nuqtaning o`zi F ga tegishli bo`lishi ham, tegishli bo`lmasligi ham mumkin (quyidagi 1-misolga qarang) . F to`plamning barcha limit nuqtalaridan tashkil topgan to`plam F to`plamning hosilaviy to`plami deyiladi va F’ kabi belgilandi. Ushbu F F’ to`plam F to`plamning yopilmasi deyiladi va u kabi belgilanadi: =F

Misollar.1.Quyidagi A={x } ochiq sharni qaraylik. Bu to`plam uchun shu to`plamning barcha nuqtalari hamda ushbu {x } Sferaning hamma nuqtalari limit nuqta bo`ladi. Demak, A ning hosilaviy to`plami A’={x } , A ning yoyilmasi = =A’ bo`ladi. 3.Shar E={x } ning barcha nuqtalari shu to`plamning limit nuqtalaridir. Bunda E’=E, E=E bo`ladi.

12.6-ta`rif.F to`plamning barcha limit nuqtalari shu to`plamga tegishli bo`lsa, F yopiq to`plam deb ataladi. Bu holda F’ Shar E={x } yopiq to`plam bo`ladi, chunki E= E. Biror M to`plamni qaraylik. Ravshanki, ayirma M to`plamni to`plamga to`ldiruvchi to`plam bo`ladi. 12.7-ta`rif.Agar nuqtaning istalgan atrofida ham M to`plamning, ham to`plamning nuqtalari bo`lsa, nuqta M to`plamning chegaraviy nuqtasi deb ataladi. M to`plamning barcha chegaraviy nuqtalaridan iborat to`plam M to`plamning chegarasi deyladi va uni kabi belgilanadi. Bu tushuncha yordamida yopiq to`plamni quyidagicha ham ta`riflash mumkin. 12.8-ta`rif.Agar F(F ) to`plamning chegarasi shu to`plamga tegishli, ya`ni bo`lsa, F yopiq to`plam deb ataladi. Yuqoridagi keltirilgan yopiq to`plamning 12.6- va 12.8-ta`riflari ekvivalent ta`riflardir. Biror M to`plam berilgan bo`lsin. 12.9-ta`rif.Agar fazoda shunday shar topilsaki, M bo`lsa, u holda M chegaralangan to`plam deb ataladi.Ma`lumki, biror E to`plam berilgan bo`lib, shunday o`zgarmas p soni topilsaki, uchun , ya`ni E to`plamning barcha elementlari(-p,p) intervalda joylashsa, E chegaralangan to`plam deb atalar edi. Yuqoridagi keltirilgan ta`rif m=1 bo`lganda huddi shu ta`rifning o`zi bo`ladi. fazodagi shar, parallelepiped, simplekslar chegaralangan to`plamlardir. Ushbu D={( : ( } To`plam chegaralanmagan to`plam bo`ladi, chunki da har qanday Shar olinganda ham har doim D to`plamda shunday nuqts, masalan, ( ) nuqta ( )topiladiki, bu nuqta to`plamga tegishli bo`lmaydi. Ma`lumki


(a ), (12.17)

ya’ni {x(t),y(t)} sistema (to`plam) fazoda,





(a ), (12.18) Ya`ni {x(t),y(t), z(t)} sistema (to`plam) fazoda egri chiziqli ifodalar edi, bunda x(t),y(t) hamda z(t)-[a,b] segmentda uzluksiz funksiyalar. Xususan, x= larning hech bo`lmaganda bittasi nolga teng emas)bo`lganda(12.17)va (12.18) sistema mos ravishda va fazolarda to`g`ri chiziqlar bo`ladi. Ana shu tushunchalarga o`xshash, fazoda ham egri chiziq hamda to`g`ri chiziq tushunchalari kiritiladi. Faraz qilaylik, (t), (t), …., (t) funksiyalarning har biri [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Ushbu { (t), (t), …., (t)}(a t b) (12.19)

Sistema yoki nuqtalar to`plami fazoda egri chiziq deb ataladi. Xususan, x= larning hech bo`lmaganda bittasi nolga teng emas)bo`lganda (12.19) sistema fazoda to`g`ri chiziq deyiladi. fazoda ixtiyoriy ikkita x’=( va x”=( nuqtani olaylik. Bu nuqtalar orqali o`tuvchi to`g`ri chiziq quyidagi { }

(12.20) sistema bilan ifodalanadi. Bunda t=0 va t=1 bo`lganda fazoning mos ravishda x’ va x” nuqtalari hosil bo`lib, 0 bo`lganda (12.20) sistema fazoda x’ va x” nuqtalarni birlashtiruvchi to`g`ri chiziq kesmasi bo`ladi.

fazoda chekli sondagi to`g`ri chiziq kesmalarini birin-ketin birlshtirishdan tashkil topgan chiziq siniq chiziq deb ataladi. to`plam berilgan bo`lsin. 12.20-ta`rif. Agar M to`plamning ixtiyoriy ikki nuqtasini birlashtiruvchi shunday siniq chiziq topilsaki, u M to`plamga tegishli bo`lsa, M bog`lamli to`plam deb ataladi. Misollar. 1. fazodagi parallelepiped, shar, simplekslar bog`lamli to`plamlar bo`ladi. 2. fazoning ikkita x’ va x” nuqtalaridan tashkil topgan {x’, x”} to`plam ({x’, x” ) bog`lamli to`plam bo`lmaydi, chunki bu nuqtalarni birlashtiruvchi siniq chiziq {x’, x”} to`plamga tegishli emas. 12.21-ta`rif. Agar M to`plam ochiq hamda bog`lamli to`plam bo`lsa, u soha deb ataladi. fazodagi ochiq parallelepiped, ochiq shar, ochiq simplekslar fazodagi sohalar bo`ladi.

2 fazoda ketma-ketlik va uning limiti

Natural sonlar to`plami N va fazo berilgan bo`lib, f har bir n(n ) ga va azoning

biror muayyan

nuqtasini mos qo`yuvchi akslantirish bo`lsin: f:N

Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin

1 ),

2 ),

3 ),

….…………………….

n ),

….…………………

f:N akslantirishning tasvirlari(obrazlari)dan tuzilgan ,… (12.21)

To`plam ketma-ketlik deb ataladi va u{ } kabi belgilanadi. Har bir (n=1,2,…)ni ketma-ketlikning hadi deyiladi. Demak, (12.21) ketma-ketlik hadlari fazo nuqtalaridan iborat. Shuni ta`kidlash kerakki, { } ketma-ketlikning mos koordinatalaridan tuzilgan }lar sonli ketma-ketliklar bo`lib, { } ketma-ketlikni shu m ta ketma-ketlikning (ma`lum tartibdagi) birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin. Ketma-ketliklarga misollar keltiraylik.







):(1,1),(-1,-1),(1,1),….

(1,n):(1,1),(1,2),(1,3),….

Bu keltirilgan ketma-ketliklar fazo nuqtalaridan tashkil topgan ketma-ketliklardir . 1.Ketma-ketlikning limiti. Endi(12.21) ketma-ketlikning limiti tushunchasini kiritamiz. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi haqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti tushunchasiga o`xshash kiritiladi. fazoda biror ,… (12.21) Ketma-ketlik hamda a=( , ) nuqta berilgan bo`lsin. 12.12-ta`rif. Agar olinganda ham, shunday topilsaki, barcha n uchun (12.22) Tengsizlik bajarilsa , a nuqta ketma-ketlikning limiti deb ataladi va



kabi belgilanadi. da keltirilgan a nuqtaning -atrofi ta`rifini e`tiborga olib, { } ketma-ketlik limitini quyidagicha ham ta`riflasa bo`ladi. 12.13-ta`rif. Agar a nuqtaning ixtiyoriy atrofi olinganda ham, { } ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo`lsa, a{ } ketma-ketlikning limiti deb ataladi. Agar (12.21) ketma-ketlik limitg ega bo`lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Limit ta`rifidagi shartni qanoatlantiruvchi a mavjud bo`lmasa, { } ketma-ketlik limitga ega emas deyiladi, ketma-ketlikning o`zi esa uzoqlashuvchi deb ataladi. Shunga e`tibor berish kerakki, ketma-ketlikning limiti ta`rifidagi ixtiyoriy musbat son bo`lib, izlanayotgan ( ) esa shu ga(va, tabiiyki, qaralayotgan ketma- ketlikka ) bog`liq ravishda topiladi. Misollar.1. fazoda ushbu

ketma-ketlikning limiti a=(0,0,….,0)

bo`lishi ko`rsatilsin. sonni olaylik. Shu ga ko`ra

ni topamiz.Natijada barcha n uchun



bo`ladi.Demak, ta`rifga ko`ra



bo`ladi

1. 
   Quyidagi )}: (1,1),(-1,-1),(1,1),….
   

Ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi ko`rsatilsin. Teskarini faraz qilaylik, ya`ni berilgan ketma-ketlik limitga ega va u a=( ) ga teng bo`lsin .Limit ta`rifiga ko`ra , jumladan =1 shunday topiladiki , barcha n uchun

((1,1),( ) ( ) bo`ladi. Bu esa ushbu

2 ( ) + ((1,1),( ), (1,1) Ziddiyatga olib keladi. Bunga sabab qaralayotgan ketma-ketlikning limitga ega deyilishidir. Demak, berilgan ketma-ketlik limitga ega emas.

fazoda ketma-ketlik berilgan bo`lib , u a=( , limitga ega bo`lsin. U holda limit ta`rifiga ko`ra , berilganda ham, { ketma-ketlikning biror -hadidan boshlab keyingi barcha hadlari a nuqtaning } sferik atrofiga tegishli bo`ladi. Bu sferik atrof ushbu bobning 1- dagi 12.1-lemmaga muvofiq shu a nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo`ladi.



Demak, { ketma-ketlikning o`sha -hadidan boshlab keyingi barcha hadlari a nuqtaning atrofida yotadi, ya`ni barcha n uchun =( : bo`ladi. Bundan esa barcha n uchun

….…………….

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, olinganda ham, shunday topiladiki , barcha n uchun



bo`ladi. Bu esa

………

ekanligini bildiradi.

Shunday qilib, fazoda ketma-ketlikning limiti a=( , bo`lsa, u holda bu ketma-ketlikning koordinatalaridan tashkil topgan sonlar

ketma-ketliklari ham limitga ega bo`lib, ular mos ravishda a

nuqtaning , koordinatalariga teng.

Demak,



Endi fazoda ketma-ketlikning koordinatalaridan tashkil topgan

sonlar ketma-ketliklari imitga ega bo`lib, ularning limitlari mos ravishda a=( nuqta koerdinatalari , koordinatalariga teng bo`lsin:

……

Limit ta`rifiga asosan, olinganda ham,





ga ko`ra shunday

topiladiki , barcha


uchun



shunday


topiladiki , barcha


uchun



Va hokazo, shunday


topiladiki , barcha


uchun



Bo`ladi. Agar

deb olsak, unda barcha uchun bir yo`la


(i=1,2,…,m) tengsizliklar bajariladi. U holda



bo`lib, undan



Bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa


ekanini bildiradi.

Demak,

ketma-ketlik koordinatalaridan tashkil topgan


sonlar ketma-ketliklarining limitlari mos ravishda a=( nuqta koordinatalari larga teng bo`lsa, ketma-ketlikning limiti yuqoridagi ta`rif ma`nosida shu a nuqta bo`ladi:



Yuqoridagi (12.23) va (12.24) munosabatlardan



ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz:

12.1-teorema. fazoda ketma-ketlikning