Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar, ularningnlimiti, uzluksizligi «Matematik analiz asoslari»

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar, ularningnlimiti, uzluksizligi

«Matematik analiz asoslari» kursining I-qismida bir o’zgaruvchili funksiyalar batafsil o’rganildi. Matematika, fizika, texnika va fanning boshqa tarmoqlarida shunday funksiyalar uchraydiki, ular ko’p o’zgaruvchilarga bog’liq bo’ladi. Masalan, doiraviy silindrning hajmi

V = πh (12.1)

ikki o’zgaruvchi: r–radius hamda h–balandlikka bog’liq.

Tok kuchi J= (12.2)

ham ikki o’zgaruvchi: E–elektr yurituvchi kuch va R-qarshilikning funksiyasi bo’ladi. Bunda silindrning hajmi (12.1) formula yordamida bir-biriga bog’liq bo’lmagan r va h o’zgaruvchilarning qiymatlariga ko’ra, tok kuchi (12.2) formula yordamida bir-biriga bog’liq bo’lmagan E va R o’zgaruvchilarning qiymatlariga ko’ra topiladi. Shunga o’xshash misollarni juda ko’plab keltirish mumkin. Binobarin, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarni yuqoridagidek chuqurroq o’rganish vazifasi tug’ildi. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ham bir o’zgaruvchili funksiyalar nazari-yasidagidek, funksiya va uning limiti, funksiyaning uzluksizligi va xakazo kabi tushunchalar o’rganiladi. Bunda bir o’zgaruvchili funksiyalar haqidagi ma’lumotlardan muttasil foydalana boriladi. Ma’lumki, bir o’zgaruvchili funksiyalarni o’rganishni ularning aniqlanish to’plamlarini (sohalarini) o’rganishdan boshlagan edik. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarni o’rganishni ham ularning aniqlanish to’plamlarini (sohalarini) bayon etishdan boshlaymiz.

fazo va uning muhim to`plamlari

1. 
   , fazolar. Ixtiyoriy ikkita A va B to`plamlarning Dekart ko`paytmasi bilan tanishgan edik (qaralsin, 1-qism, 1-bob, 1- ). Endi A va Bto`plamlar deb R to`plamni olaylik: A=B=R. Unda bo`ladi. Ushbu to`plam to`plam deb ataladi. Ravshanki , to`plam elementlari juftliklar bo`ladi. Ular shu to`plam nuqtalari deb yuritiladi. Odatda to`plam-ning nuqtasi bitta harf, masalan ( ) nuqta x orqali belgilanadi: x=( ). Bunda sonlar x nuqtaning mos ravishda birinchi va ikkinchi koordinatalari deyiladi. Tekislikda to`g`ri burchakli Oxy Dekart koordinatalari sistemasini olaylik. Ox o`qda (absissa o`qida ) o`zgaruvchining qiymatlari, Oy o`qda(ordinata o`qida) esa o`zgaruvchining qiymatlari joylashgan bo`lsin . U holda ( ) Juftlik tekislikda koordinatalari bo`lgan M( ) nuqtani ifodalaydi.
   

Haqiqiy sonlar to`plami R bilan to`g`ri chiziq nuqtalari orasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatilgani kabi(qaralsin, 1-qism,2-bob,10- to`plam nuqtalari bilan tekislik nuqtalari orasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatish mumkin. Bu esa to`plamning geometrik tasvirini tekislik deb qarash imkonini beradi. Yuqoridagi to`plamning elementlarini nuqta deb atalganining boisi ham shundadir. Analitik geometriya kursida keltirilgandek, to`plamda(tekislikda) ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasini kiritish mumkin. x=( ) y=( ) bo`lsin. 12.1-ta`rif. Ushbu (x,y)= (( )² + ( )²) Miqdor x=( ) y=( ) nuqtalar orasida masofa deb ataladi . Kiritilgan (x,y) masofa quyidagi xossalarga ega ( x,y,z ): 1 (x,y) 2 (x,y)= (y,x). 3 (x,y) (x,y) (y,z). Bu xossalarning isboti keyingi punktda (umumiy holda) keltiriladi. Odatda to`plam fazo(ikki o`lchovli Evklid fazosi ) deb ataladi. Endi fazoning kelgusida tez-tez uchrab turadigan ba`zi bir muhim to`plamlarini keltiramiz . fazoning a=( ) nuqtasini hamda musbat r sonni olaylik. Quyidagi {( ) : )² + ( )² (12.3) {( ) : )² + ( )² to`plamlar mos ravishda doira va ochiq doira deb ataladi. Bunda a nuqta doira markazi, r esa doira radius deyiladi. Ushbu {( ) : )² + ( )² to`plam aylana deyiladi. Bu aylana (12.3) va (12.4) doiralarning chegarasi bo`ladi. (Ixtiyoriy to`plamning chegarasi ta’rifini keyinroq keltiramiz.) (12.3) to`plamda(doirada) doira chegarasi shu to`plamga tegishli bo`ladi, (12.4) to`plamda esa (ochiq doirada) doira chegarasi(12.4) to`plamga tegishli bo`lmaydi. Ochiq doira hamda bu doira chegarasi ba`zi bir nuqtalardan iborat bo`lgan to`plam-larni tuzib ham qarash mumkin. Masofa ta’rifidan foydalanib, doira hamda ochiq doiralarni mos ravishda quyidagi

{x : (x,a) }, (12.3`) {x : (x,a) } (12.4`)

to`plamlar deb qarash mumkin.

a, b, c, d -haqiqiy sonlar va a b, c d bo`lsin. Quyidagi

{( ) :a }, (12.5)

{( ) :a } (12.6)

to`plamlar, mos ravishda to`g`ri to`rtburchak hamda ochiq to`g`ri to`rtburchak deb ataladi. Ushbu ( , nuqta (12.5) va (12.6) to`g`ri to`rtburchaklarning markazi deyiladi. fazoning ushbu {( h)} (12.7)

Nuqtalaridan iborat to`plam (ikki o`lchovli)simpleks deb ataladi, bunda h-musbat son . Simpleks (simplex) lotincha so`z bo`lib, u sodda degan ma’noni anglatadi. Endi fazo tushunchasi bilan tanishamiz. fazo ham yuqoridagi fazo kabi ta`riflanadi. Ikkita to`plamning Dekart ko`paytmasi kabi ixtiyoriy uchta A, B, C to`plamning ham Dekart ko`paytmasi tushunchasi kiritiladi. Xususan A=B=C=R bo`lganda A ={( ): } bo`ladi. Ushbu {( ): } to`plam to`plam deb ataladi. to`plamning elementi ( ) uchlik shu to`plam nuqtasi deyiladi va uni, odatda bitta harf, masalan, x nuqtasining mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi koordinatalari deyiladi. Fazoda to`g`ri burchakli Oxyz Dekart koordinatalar sistemasini olaylik. Ox o`qda o`zgaruvchining qiymatlari, Oy o`qda o`zgaruvchining qiymatlari, Oz o`qda o`zgaruvchining qiymatlari joylashgan bo`lsin. U holda ( ) uchlik fazoda koordinatalari bo`lgan M nuqtani ifodalaydi. to`plamda ixtiyoriy x= ( ), y= ( ) nuqtalarni olaylik . Ushbu (x,y)= (( )² + ( )²+( )²) Miqdor x va y nuqtalar orasidagi masofa deb ataladi.Shu tarzda aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega(bunda x, y, z ):

1. 
   (x,y) 0 va (x,y)=0 x=y.
   
2. 
   (x,y)= (y,x).
   
3. 
   (x,z) (x,y) +(y,z).
   

Bu xossalarning isboti 2-punktda (umumiy holda) keltiriladi. Yuqoridagi keltirilgan to`plam fazo (uch o`lchovli Yevklid fazosi )deb ataladi. Endi fazoning muhim to`plamlarini keltiramiz. fazoning a=( ) nuqtasini hamda musbat r sonni olaylik. Quyidagi

{ ( ) :( )² + ( )²+( )² (12.8) { ( ) :( )² + ( )²+( )² (12.9)

to`plamlar mos ravishda shar hamda ochiq shar deb ataladi. Bunda a nuqta shar markazi, r esa shar radiusi deyiladi. Ushbu { ( ) :( )² + ( )²+( )² to`plam sfera deyiladi. Bu sfera (12.8), (12.9) sharlarning chegarasi bo`ladi. Demak, (12.8) to`plamda (sharda) shar chegarasi shu to`plamga tegishli bo`ladi, (12.9) to`plamda esa(ochiq sharda) shar chegarasi(12.9) to`plamga tegishli bo`lmaydi. fazodagi masofa tushunchasidan foydalanib, shar va ochiq sharlarni mos ravishda ushbu {x : (x,a) }, (12.8’) {x : (x,a) }, (12.9’) to`plamlar sifatida ham aniqlash mumkin. Ushbu { ( ) : a

{ ( ) :

To`plamlar (bunda a, b, c, d, l, s-haqiqiy sonlar) mos ravishda parallelepiped hamda ochiq parallelepiped deb ataladi. Ushbu { ( ) : } to`plam simpleks (uch o`lchamli simpleks ) deyiladi, bunda h o`zgarmas son. 2. fazo. m ta A₁, A₂, … A_m ( m  1 butun son) to’plamlarning Dekart ko’payt-masi ikkita A va B to’plamlarning Dekart ko’paytmasiga o’xshash ta’riflanadi. Agar A₁₌A₂₌ ... = A_m= R bo’lsa, u holda

bo`ladi. Ushbu to`plam to`plam deb ataladi. to`plamning elementli shu to`plam nuqtasi deyiladi va u odatda bitta harf bilan belgilanadi:x= . Bunda sonlar x nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, …., m-koordinatalari deyiladi. to`plamda ixtiyoriy x= , y= nuqtalarni olaylik. (x,y)= (( )² + ( )²+…+( )²)= (12.10) miqdor x va y nuqtalar orasidagi masofa deb ataladi. Bunday aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega(bunda x, y, z ): 1.(x,y) 0 va (x,y)=0 x=y. 2. (x,y)= (y,x). 3. (x,z) (x,y) +(y,z)

Bu xossalarni isbotlaylik.(12.10) munosabatdan (x,y) miqdorning har doim manfiy emasli-gini ko`ramiz. Agar (x,y)=0 bo`lsa, unda

(x,y)= (( )² + ( )²+…+( )²)= (( )² + ( )²+…+( )²)= (y,x).bo`ladi.

Masofaning 3-xossasi ushbu

(12.11)

Tengsizlikka asoslanib isbotlanadi, bunda .Avvalo shu tengsizlikning to`g`riligini ko`rataylik. Ravshanki, uchun



Bundan x ga nisbatan kvadrat uchhadning manfiy emasligi

)

kelib chiqadi. Demak, bu kvadrat uchxad ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. Binobarin, uning diskriminanti

-

bo’lishi kerak. Bundan esa

bo`lib,

+

2

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

(12.11)

bo`lishi kelib chiqadi. Odatda (12.11) tengsizlik Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi. Ixtiyoriy x=( nuqtalarni olib, ular orasidagi masofani (12.10) formuladan foydalanib topamiz:

,

, (12.12)

.

Endi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi (12.11) da

deb olsak, unda bo`lib,

+

bo’ladi. Yuqoridagi (12.12) munosabatlarni e’tiborga olib, topamiz:

.

Bu esa 3-xossani isbotlaydi.Odatda 3-xossa bilan tengsizlik uchburchak tengsizligi (uchburchak bir tomonining uzunligi qolgan ikki tomon uzunliklari yig`indisidan katta emasligi e’tiborga olib) deb yuritiladi. to`plam fazo(m o`lchovli Evklid fazosi ) deb ataladi. Endi fazoning ba’zi bir muhim to`plamlarini keltiramiz. Biror a=( nuqta va r sonni olaylik. Quyidagi

x=( : + +…+ (12.13)

x=( : + +…+

ya`ni

{x }(12.13’)

{x }(12.14’)

to`plamlar mos ravishda shar va ochiq shar deb ataladi. Bunda a nuqta shar markazi, r esa shar radiusi deyiladi. Ushbu

x=( : + +…+

{x }

to’plam sfera deb ataladi. Bu sfera (12.13) va (12.14) to’plamlarning chegarasi bo’ladi. Ushbu

x=( :

x=( : to`plamlar (bunda ; haqiqiy sonlar ) mos ravishda parallelepiped hamda ochiq parallellepiped deb ataladi.Ushbu

{ x=( : }

to’plam simpleks (m-o’lchovli simpleks )deb ataladi, bunda h- musbat son. Yuqorida keltirilgan to’plamlar tez-tez ishlatilib turiladi. Ular yordamida muhim tushunchalar, jumladan atrof tushunchasi ta’riflanadi. fazoda ochiq va yopiq to`plamlar.Biror ) nuqta hamda sonni olaylik. 12.2-ta`rif.Markazi nuqtada,radiusi ga teng bo`lgan ochiq shar nuqtaning sferik atrofi ( -atrofi) deyiladi va kabi belgilanadi: (12.15) Nuqtaning boshqacha atrofi tushunchasini ham kiritishimiz mumkin.