Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar, ularningnlimiti, uzluksizligi «Matematik analiz asoslari»

a=( ga intilishi uchun da bir yo`la

………..

Bo`lishi zarur va yetarli

Yuqoridagi 2-misolda qaralgan ) ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi ushbu teoremadan kelib chiqadi. Bu teorema fazoda ketma-ketlikning limitini o`rganishni sonli ketma-ketliklarning limitini o`rganishga keltirilishini ifodalaydi. Ma`lumki, <> kursining 1-qism, 3-bobida sonlar ketma-ketligi va unig limiti batafsil o`rganilgan. Shuni e`tiborga olib, biz quyidagi fazoda ketma-ketliklar limitlari nazaryasining bayonida asosiy faktlargina keltirish, ularning ayrimlarinigina isbotlash bilan chegaralamiz. Yuqoridagi isbot etilgan teorema hamda yaqinlashuvchi sonlar ketma-ketligining xossalaridan fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning quyidagi xossalari kelib chiqadi. fazoda ketma-ketlik berilgan bo`lsin. 1.Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lsa, uning limiti yagonadir. Keyingi xossani keltirishdan avval , ketma-ketlikning chegaralanganligi tushunchasi bilan tanishamiz . Agar ketma-ketlikning barcha hadlaridan to`plam chegaralangan bo`lsa, ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deb ataladi.

fazoda ketma-ketlik chegaralangan bo`lsin. Ta`rifga ko`ra

(12.9-ta`rif) shunday shar topiladiki, uchun bo`ladi . Demak,

Keyingi tengsizlikdan esa



bo`lishi kelib chiqadi.

Shunday qilib,


ketma-ketlik chegaralangan bo`lsa , bu ketma-ketlikning koordinatalaridan iborat

ketma-ketliklarning har biri chegaralangan bo`lsin. Sonlar ketma-ketligining chegaralanganligi ta`rifiga ko`ra (1-qism, 3-bob, 2-) shunday o`zgarmas sonlar topiladiki, uchun









Bo`ladi. Agar C=max{ } deb olsak,

(k=1, 2, …, m) bo`lib undan uchun

C bo`lishini topamiz. Bu esa ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi.

Shunday qilib,

ketma-ketlikning koordinatalaridan iborat ketma-ketliklarning har

birining chegaralanganligidan ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqar ekan.

Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.

12.2-teorema. fazoda ketma-ketlikning chegaralangan

bo`lishi uchun bu ketma-ketlik koordinatalaridan iborat

sonlar ketma-ketliklarining har birining chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli.

Masalan, fazoda


Ketma-ketlik cheegaralangan bo`ladi, chunki bu ketma-ketlik koordinatalaridan iborat ketma-ketliklarning har biri chegaralangandir. fazoda {(n,n)}(n=1,2,..,) ketma-ketlik chegaralanmagan ketma-ketlik. Yuqorida keltirilgan (1,1), (-1,-1,(1,1), (-1,-1),….. ketma-ketlik ham chegaralanmagan ketma-ketliklar limitga ega bo`lishi ham, limitga ega bo`lmasligi ham mumkin ekan. 1.Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lsa, u chegaralangan bo`ladi. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida arifmetik amallarni keltiramiz. fazoning ikkita a=( , b=( nuqtalarni olaylik. fazoning ( nuqtasi ava b nuqtalar yig`indisi deb ataladi va a+b kabi belgilanadi:a+b= ( .

fazoning ( nuqtasi haqiqiy son bilan nuqta ko`paytmasi deb ataladi va a kabi belgilanadi: a= ( . fazoning a va b nuqtalari orasidagi ayirma a+(-1)b ko`rinishdagi aniqlanadi va a-b kabi belgilanadi: a-b= ( . Shunday qilib, fazo nuqtalari ustida qo`shish, ayirish va fazo nuqtasini haqiqiy songa ko`paytirish amallari kiritiladi.

fazoda ikkita , ketma

ketlik berilgan bo`lsin. Ushbu

ketma-ketlik va ketma-ketlik yig`indisi deb ataladi va kabi

belgilanadi. va ketma-ketliklar ayirmasi esa quyidagi



ketma-ketlik sifatida aniqlanadi va kabi belgilanadi.