Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Darajalar egri chiziqlari
Agar sayohatchilar qo'pol yo'llar bo'ylab yurishsa, ular yo'llarning qanchalik keskin o'zgarishini ko'rsatadigan topografik xaritadan foydalanishlari mumkin. A topografik xarita kontur chiziqlari deb nomlangan egri chiziqlarni o'z ichiga oladi. Har bir kontur chizig'i xaritadagi balandligi teng bo'lgan nuqtalarga to'g'ri keladi (Shakl ( PageIndex {6} )). (F (x, y) ) ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiya darajasining egri chizig'i topografik xaritadagi kontur chizig'iga to'liq o'xshaydi.

Ta'rif: darajadagi egri chiziqlar
(F (x) ) funktsiyasi va (f ) oralig'ida (c ) soni berilgan bo'lsa, (c ) qiymati uchun ikkita o'zgaruvchili funktsiyasining darajadagi egri chizig'i aniqlanadi (f (x, y) = c. ) tenglamani qondiradigan nuqtalar to'plami bo'lishi kerak
(G (x, y) = sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} ) funktsiyasiga qaytsak, biz ushbu funktsiyaning darajadagi egri chiziqlarini aniqlay olamiz. (G ) diapazoni bu yopiq interval ([0,3] ). Birinchidan, biz ushbu yopiq oraliqda istalgan raqamni tanlaymiz - deylik, (c = 2 ). (C = 2 ) ga to'g'ri keladigan darajadagi egri chiziq tenglama bilan tavsiflanadi
[ sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} = 2. ]
Soddalashtirish uchun ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga qo'ying:
[9-x ^ 2-y ^ 2 = 4. ]
Endi tenglamaning ikkala tomonini (- 1 ) ga ko'paytiring va har tomonga (9 ) qo'shing:
[x ^ 2 + y ^ 2 = 5. ]
Ushbu tenglama u003d ( sqrt {5} ) radiusi bilan boshiga markazlashgan aylanani tasvirlaydi. (0 ) va (3 ) orasidagi c qiymatlaridan boshida markazlashtirilgan boshqa doiralar hosil bo'ladi. Agar (c = 3 ) bo'lsa, u holda aylana radiusi (0 ) ga teng, shuning uchun u faqat boshlanishidan iborat bo'ladi. Shakl ( PageIndex {7} ) - bu funktsiya (c = 0,1,2, ) va (3 ) ga to'g'ri keladigan darajadagi egri chiziqlar grafigi. Shuni esda tutingki, avvalgi hosilada biz ikkala tomonni ham kvadratga qo'shib qo'shimcha echimlarni taklif qilgan bo'lamiz. Bu erda bunday emas, chunki kvadrat ildiz funktsiyasining diapazoni salbiy emas.

Funksiyaning har xil darajadagi egri chiziqlari grafigi a deyiladi kontur xaritasi.
Misol ( PageIndex {4} ): Kontur xaritasini yaratish
(F (x, y) = sqrt {8 + 8x − 4y-4x ^ 2 − y ^ 2} ) funktsiyasini hisobga olib, (c = 0 ) ga mos daraja egri chizig'ini toping. Keyin ushbu funktsiya uchun kontur xaritasini yarating. (F ) domeni va diapazoni qanday?
Qaror
(C = 0, ) uchun egri chiziqni topish uchun (f (x, y) = 0 ) ni o'rnatamiz va echamiz. Bu beradi
(0 = sqrt {8 + 8x − 4y − 4x ^ 2 − y ^ 2} ).
Keyin ikkala tomonni kvadratga o'tkazamiz va tenglamaning ikkala tomonini (- 1 ) ga ko'paytiramiz:
(4x ^ 2 + y ^ 2−8x + 4y-8 = 0. )
Endi, biz shartlarni qayta joylashtiramiz, (x ) shartlarni va (y ) shartlarni birlashtiramiz va har tomonga (8 ) qo'shamiz:
(4x ^ 2−8x + y ^ 2 + 4y = 8. )
So'ngra, qavs ichida bir xil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atama juftlari va birinchi juftlikdan (4 ) omil:
(4 (x ^ 2−2x) + (y ^ 2 + 4y) = 8. )
Keyin kvadratni har bir qavs ichida to'ldiramiz va o'ng tomonga to'g'ri qiymat qo'shamiz:
(4 (x ^ 2−2x + 1) + (y ^ 2 + 4y + 4) = 8 + 4 (1) +4. )
Keyin biz chap tomonga ta'sir o'tkazamiz va o'ng tomonni soddalashtiramiz:
(4 (x-1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 16. )
Va nihoyat, ikkala tomonni (16 ) ga bo'lamiz:
[ dfrac {(x-1) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {16} = 1. label {ellipseeq1} ]
Ushbu tenglama ((1, -2) ) markazida joylashgan ellipsni tavsiflaydi. Ushbu ellipsning grafigi quyidagi grafada paydo bo'ladi.

(C ) ning (4. ) dan kichik qiymatlari uchun bir xil hosil qilishni takrorlashimiz mumkin, keyin tenglama ref {ellipseeq1} bo'ladi
( dfrac {4 (x-1) ^ 2} {16-c ^ 2} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {16-c ^ 2} = 1 )
(c ) ning ixtiyoriy qiymati uchun.
Funktsiyani (c ) ga tenglashtirsak, quyidagilar olinadi:
[ sqrt {8 + 8x-4y-4x ^ 2-y ^ 2} = c nonumber ]
Keyin ikkala tomonni kvadratga o'tkazamiz va tenglamaning ikkala tomonini (- 1 ) ga ko'paytiramiz:
(4x ^ 2 + y ^ 2−8x + 4y-8 = -c ^ 2. )
Endi, biz shartlarni qayta joylashtiramiz, (x ) shartlarni va (y ) shartlarni birlashtiramiz va har tomonga (8 ) qo'shamiz:
(4x ^ 2−8x + y ^ 2 + 4y = 8-c ^ 2. )
So'ngra, qavs ichida bir xil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atama juftlari va birinchi juftlikdan (4 ) omil:
(4 (x ^ 2−2x) + (y ^ 2 + 4y) = 8-c ^ 2. )
Keyin kvadratni har bir qavs ichida to'ldiramiz va o'ng tomonga to'g'ri qiymat qo'shamiz:
(4 (x ^ 2−2x + 1) + (y ^ 2 + 4y + 4) = 8 - c ^ 2 +4 (1) +4. ) $
Keyin biz chap tomonga ta'sir o'tkazamiz va o'ng tomonni soddalashtiramiz:
(4 (x-1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 16 - c ^ 2. )
Va nihoyat, ikkala tomonni (16 - c ^ 2 ) ga bo'lamiz:
[ dfrac {4 (x-1) ^ 2} {16-c ^ 2} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {16-c ^ 2} = 1 raqamsiz ]
( PageIndex {9} ) rasmda (c = 0,1,2, ) va (3 ) qiymatlari yordamida (f (x, y) ) uchun kontur xaritasi ko'rsatilgan. (C = 4, ) darajadagi egri chiziq ((- 1,2) ) nuqta bo'ladi.

( PageIndex {4} ) mashqlari
(G (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2−6x + 2y ) funktsiyasining (c = 15. ) Ga to'g'ri keladigan darajadagi egri chizig'ini toping va grafika qiling.