Ko‘p o‘lchovli taqsimotlar (Ko’p o’lchovli taqsimotlarning taqsimot qonunlari. Ko’p o’lchovli taqsimotlarning taqsimot funksiyalari va ularning xossalari)

1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X t.m. va ko‘k rangdagi sharlar soni Y t.m. bo‘lsin. (X,Y) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping.
Yechish. X t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m.ning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: (yoki );
; ; .
(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:

Y X	0	1
0
1

Bu yerdan , ; , kelib chiqadi. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

va .

2-misol. 1-misoldagi (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning hamda X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini toping.
Yechish. formuladan:

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning taqsimot funksiyasini (5) formulaga ko‘ra topamiz:

Y X
	0	0	0
	0
	0

3-misol. Diskret ikki o’lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollari taqsimoti berilgan.

Y X	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25
5	0,10	0,30	0,65

X va Y tashkil etuvchilarning taqsimot qonunlarini toping.

Yechish. Ehtimollarni “ustunlar bo’yicha” qo’shib, ning mumkin bo’lgan qiymatlarining ehtimollarini hosil qilamiz:
.
tashkil etuvchining taqsimot qonuni yozamiz:

	3	10	12
	0,27	0,43	0,30

Tekshirish: .

Shunga o’hshash ehtimollarni “satr bo’yicha” qo’shib Y tashkil etuvchining taqsimot qonunini topamiz:

	4	5
	0,55	0,45

Tekshirish: .

4-misol. Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorning

Integral funksiyasi berilgan. tasodifiy nuqtaning to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimolini toping.
Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz:

.
Bunda deb, quyidagini hosil qilamiz:
.

X Y	26	30	41	50
2,3	0,05	0,12	0,08	0,04
2,7	0,09	0,30	0,11	0,21

1.Diskret ikki o`lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollari berilgan :
Tashkil etuvchilarning taqsimot qonunlarini toping.
2. (X,Y) tasodifiy nuqtaning to`gri chiziqlar bilan chegaralangan to`g`ri to`rtburchakka tushish ehtimolini toping. Integral Funksiya ma`lum.

3. Ikkita tanga kub tashlash tajribasida “gerb” lar soni va kubdagi ochkolar soni ning birgalikdagi taqsimoti jadvalini tuzing.
4. Tangani to‘rt marta tashlashda “gerb” tushgan tajribalar soni va raqam tushgan tajribalar soni ning birgalikdagi taqsimoti ni jadvalini tuzing, hamda ni hisoblang.
5. Nishonga tegish ehtimollari mos ravishda 0,7; 0,8 va 0,9 bo‘lgan uchta mergan bir vaqtda o‘q otadilar. Nishonga tekkan o‘qlar soni - va nishonga tegmagan o‘qlar soni- ning birgalikdagi taqsimoti ni jadvalini tuzing, hamda ni hisoblang.
6. ixtiyoriy ikkitasi birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la guruhi bo‘lib, . Bog‘liqsiz ikkita tajribada hodisani ro‘y berishlar soni- va hodisani ro‘y berishlar soni- ning birgalikdagi taqsimot jadvalini tuzing, hamda ehtimolni hisoblang.

7. Diskret tipdagi tasodifiy vektor quyidagi

birgalikdagi taqsimotga ega.

	0	1	2
0	0,1	0	0,3
1	0,2	0,2	0,2

<sub>Quyidagilarni toping:
a) va larning har birini taqsimot qonunini.
b) , ehtimollarni.
v) ehtimolni.
8. Ikki tanga va kub tashlash tajribasida “gerb” lar soni va kubdagi ochkolar soni ning birgalikdagi taqskimoti jadvalini tuzing.
9. Tangani to`rt marta tashlashda “gerb” tushgan tajribalar soni va raqam tushgan tajribalar soni ning birgalikdagi taqsimoti ni jadvalini tuzing.hamda ni hisoblang.</sub>

Ko’p o’lchovli taqsimotlar (ko’p o’lchovli taqsimotlarning zichlik funksiyalari va ularning xossalari.)
Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi : 1. uzluksiz bo‘lsa;
2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi;
3. ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa.
Ikki o‘lchovlik (X,Y) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

(1)

Tenglik orqali aniqlanadi.

2. Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining xossalari.

zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. .
2. . (3)
3. . (4)
4. .
5. X va Y tasodifiy miqdorlarning bir o‘lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi tengliklar yordamida topish mumkin:
; . (5)
1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan

Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) ; 3) va ;

4) va ; 5) .
1) tenglikdan

2) , , ya’ni

3) , , demak

Aynan shunday,

4)

va shu kabi

5)

2-misol. Ikki tasodifiy miqdorning integral funksiyasi berilgan:


Sistemaning differensial funksiyasini toping.
Yechish. Ushbu formuladan foydalanamiz:
.
Hususiy hosilalarni topamiz:

Shunday qilib,


1. Taqsimot funksiyasi

bo‘lgan ikki o‘lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasini toping.
2. Tasodifiy vektor ning zichlik funksiyasi
.
Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping.
3. Ikki tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi

bu erda Tasodifiy miqdorlar birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping.
4. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi
.
Quyidagilarni toping.
a) o‘zgarmas ning qiymatini;
b) - birgalikdagi taqsimot funksiyani;
s) tasodifiy nuqtani to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan kvadratga tushishehtimolini.
5. Ikki va tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi

bu erda Tasodifiy miqdor ning zichlik funksiyasini toping.
6. Ikki va tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi zichlik funksiyasi

bu erda Quyidagilarni toping: a) o‘zgarmas sonni: b) va larning bir o‘lchovli zichlik funksiyalarini.
7. Tasodifiy vektor ning zichlik funksiyasi
.
Vektorning birgalikdagi taqsimot funksiyasini toping.