Ko‘p o‘lchovli taqsimotlar (Ko’p o’lchovli taqsimotlarning taqsimot qonunlari. Ko’p o’lchovli taqsimotlarning taqsimot funksiyalari va ularning xossalari)

8.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X tasodifiy miqdor va ko‘k rangdagi sharlar soni Y tasodifiy miqdor bo‘lsin. (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y tasodifiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: (yoki );
; ; .
(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:

Y X	0	1
0
1

Bu yerdan , ; , kelib chiqadi. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

va .

3. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari.

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.
Ikki o‘lchovli (X,Y) tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har bir jufti uchun va hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan F(x,y) funksiyasidir: ya’ni

. (4)
(4) tenglikning geometrik tasviri 1-rasmda keltirilgan.

1-rasm.

(X,Y) ikki o‘lchovlik diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali aniqlanadi:

. (5)
Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining xossalari:
1. taqsimot funksiya chegaralangan: .
2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar bo‘lsa, ,
agar bo‘lsa, .
3. funksiyaning biror argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda funksiya nolga teng, .
4. Agar funksiyaning bitta argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda
; . (6)
5. Agar ikkala argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda .
6. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni , .