6. Обратное z-преобразование
Переход от z-образа X(z) к последовательности x(n) называется обратным z-преобразованием и формально определяется соотношением
x(n) = , (19)
где С – замкнутый контур в z – плоскости, охватывающей все особенности функции X(z)z n – 1.
Интеграл (5.19) вычисляется с помощью теоремы о вычетах. Функция x(n) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром С,
x(n) = Reszk (X(z) z n – 1), (20)
где Reszk (X(z) z n – 1) – вычет в простом полюсе, который равен
Reszk (X(z) z n – 1) = limzzk ((z – zk) X(z) z n – 1).
Один из способов вычисления (5.19)
x(n) = .
Если X(z) – дробно-рациональная функция, то ее можно разложить на простые дроби:
X(z) = k / (1 – k z–1).
В этом случае, используя свойство линейности, с учетом (20) получим решение в виде суммы
x(n) = k (k) n.
Лекция 5
1. Дискретное преобразование Фурье
Ранее было рассмотрено несколько методов описания последовательностей или дискретных систем. К ним относятся дискретная свертка, преобразование Фурье и z-преобразование. В тех случаях, когда последовательность периодична (или имеет конечную длительность) ее можно представить рядом Фурье. Итак, рассмотрим периодическую последовательность xp(n) с периодом в N отсчетов. Ее можно записать следующим образом:
xp(n) = Xp(k) ej(2/N)kп (1)
причем частоты спектральных составляющих, образующих xp(n), могут принимать только значения k = 2k/N, – < k < , поскольку периоды других частот не кратны N. В равенстве (1) коэффициенты Xp(k) представляют амплитуды синусоид с частотами k. Запись вида (1) избыточна вследствие периодичности функции ej, так как комплексные экспоненты с частотами
k = k = kmN = (k mN) при 0 < m <
не отличаются друг от друга, т. е.
xp(j kn) = exp [j (k mN)n].
Следовательно, равенство (5.21) можно переписать в виде
xp(n) = Xp(k) (2)
– имеется всего N различных комплексных экспонент с периодом в N отсчетов. Для удобства перепишем равенство (5.22) в общепринятом виде
xp(n) = Xp(k) (ОДПФ) (3)
– деление на N не изменяет способа представления. Чтобы выразить коэффициенты Xp(k) через xp(n), умножим обе части равенства (3) на exp[–j(2/N)kn] и просуммируем результаты по n:
xp(n) = Xp(k) . (4)
Меняя в правой части (4) порядок суммирования и используя формулу
Xp(k) =
получим
xp(n) = Xp(k)u0(k – m) (5)
– периодические последовательности отмечены индексом р.
После перестановки левой и правой частей равенства (5) и замены индекса т на k
Xp(k) = xp(n) . (ДПФ) (6)
Do'stlaringiz bilan baham: |