Конкурс научных работ «Ученые будущего»

Решение:

(x - 3)² = x² - 2·3·x + 3² = x² - 6x + 9

Пример 2.

Раскрыть скобки (2x - 3y²)².

Решение:

(2x - 3y²)² = (2x)² - 2·(2x)·(3y²) + (3y²)² = 4x² - 12xy² + 9y⁴

Пример 3.

Упростить выражение 9x² - 6x + 1(3x - 1).

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный квадрат разности

9x² - 6x + 1(3x - 1) = (3x - 1)²(3x - 1) = 3x - 1

Заметим, что с помощью формулы квадрата разности легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.

Пример 4.

Вычислить 69².

Решение:

69² = (70 - 1)² = 70² - 2·70·1 + 1² = 4900 - 140 + 1 = 4761

Как применять разность квадратов a² − b² →  Как применять квадрат суммы (a + b)² →  Как применять квадрат разности (a − b)² →  Как применять куб суммы (a + b)³ →  Как применять куб разности (a − b)³ →  Как применять сумму кубов a³ + b³ →  Как применять разность кубов a³ − b³

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Важно!

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Применение квадрата разности для разложения многочлена на множители

Вспомним, как выглядит формула квадрата разности.

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Важно помнить, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону.

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу квадрата разности.

Обратите внимание, что многочлен «d² − 2dc + c²» напоминает правую часть формулы «a² − 2ab + b²» , только вместо «a» стоит «d», а на месте «b» стоит «c».

Используем для многочлена «d² − 2dc + c²» формулу квадрата разности.

Рассмотрим другой пример. Необходимо возвести в квадрат многочлен.

Используем формулу квадрата разности. Только вместо «a» у нас будет «5z», а вместо «b» — «t».

Часто возводят многочлен в квадрат следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в квадрат необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b)² = a² − 2ab + b².

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле «a», «2ab», а что «b». Представим многочлен в виде «a² − 2ab + b²».

Применение нескольких способов для разложения многочлена на множители

Рассмотрим пример, где для разложения многочлена на множители нам потребуется использовать вынесение общего множителя и формулу квадрата разности.

Обратим внимание, что в многочлене «−2a² + 8ab − 8b²» стоят знаки противоположные правой части формулы квадрата разности «a² − 2ab + b²».

Вынесем общий множитель «−2» за скобки.

После вынесения общего множителя многочлен «a² − 4ab + 4b²» в скобках стал напоминать правую часть формулы квадрата разности «a² − 2ab + b²».

Используем формулу квадрата разности и завершим решение примера.

Как применять разность квадратов a² − b² →  Как применять квадрат суммы (a + b)² →  Как применять квадрат разности (a − b)² →  Как применять куб суммы (a + b)³ →  Как применять куб разности (a − b)³ →  Как применять сумму кубов a³ + b³ →  Как применять разность кубов a³ − b³