Kompakt operatorlar

17.1-misol. Evklid fazosidagi birlik operatorni kompaktlikka tekshiring.

Yechish. Birlik operatorning chiziqliligi va uzluksizligi 11.1-misolda ko‘rsatilgan. 17.1-teoremaga ko‘ra birlik operator kompakt bo‘ladi.

Cheksiz o‘lchamli fazolarda kompaktlik talabi uzluksizlik talabidan ancha kuchliroq hisoblanadi. Hozir biz uzluksiz, lekin kompakt bo‘lmagan operatorga misol keltiramiz.

17.2. Hilbert fazosidagi birlik operatorning kompakt emasligini ko‘rsating.

Yechish. Birlik operatorning uzluksizligi uning chegaralangan ekanligidan kelib chiqadi (11.1-misolga qarang). Endi uning kompakt emasligini ko‘rsatamiz. dagi birlik yopiq sharni qaraymiz. Bu to‘plam chegaralangan to‘plam bo‘ladi, uning akslantirishdagi tasviri (aksi) o‘ziga teng. Lekin birlik shar kompakt emas. Buni isbotlash uchun da ixtiyoriy ortonormal sistemani olamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy uchun Agar bo‘lsa, u holda

Bu yerdan ko‘rinadiki ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Demak, birlik shar nisbiy kompakt to‘plam emas ekan. Bu o‘z navbatida birlik operatorning kompakt emasligini bildiradi.

Cheksiz o‘lchamli Banax fazolarida birlik sharning nisbiy kompakt to‘plam emasligi quyidagi lemmadan kelib chiqadi.

17.1-lemma. chiziqli normalangan fazo va lar dagi chiziqli erkli sistema bo‘lsin. bilan elementlarning chiziqli qobig‘idan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlar mavjud:

Isbot. Lemma shartiga ko‘ra elementlar sistemasi chiziqli erkli. Shuning uchun, va ning yopiq ekanligidan bo‘ladi. Shunday element mavjudki bo‘ladi. U holda

Natijada

vektor 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi vekror bo‘ladi. vektor sifatida vektorni olish yetarli.

Bu lemmadan foydalanib, cheksiz o‘lchamli Banax fazosidagi yopiq birlik sharda yotuvchi shunday ketma-ketlik qurish mumkinki, shart bajariladi. Bunday ketma-ketlik o‘zida birorta ham yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlamaydi. Demak, cheksiz o‘lchamli Banax fazosidagi birlik shar nisbiy kompakt to‘plam emas. Bu yerdan quyidagi natija kelib chiqadi.