Kompakt operatorlar

17.3-misol. Berilgan har bir uchun

operatorning kompaktligini ko‘rsating.

Yechish. operatorning kompakt ekanligini ko‘rsatishda 17.2-teoremadan foydalanamiz. Chunki chegaralangan operator va Haqiqatan ham,

Demak, chegaralangan va uning normasi uchun

tengsizlik o‘rinli. operatorning qiymatlar sohasi esa vektorlar sistemasidan hosil bo‘lgan qism fazo bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun 17.2-teoremaga ko‘ra, kompakt operator bo‘ladi.

17.4. fazoda quyidagi integral operatorning kompaktligini ko‘rsating.

Yechish. Dastlab operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.

Bu yerda biz Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalandik. Agar tengsizlikni e'tiborga olsak,

ga ega bo‘lamiz. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Agar biz ayniyatdan foydalansak,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda

Demak, ixtiyoriy element va larning chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanadi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, 17.2-teoremaga ko‘ra operator kompakt bo‘ladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   va fazolarda birlik shar nisbiy kompakt to‘plam bo‘ladimi?
   
2. 
   fazoda operatorning o‘lchamini toping.
   
3. 
   fazodagi birlik sharning akslantirishdagi tasvirining nisbiy kompakt to‘plam bo‘lishini ko‘rsating.
   
4. 
   Chekli o‘lchamli operatorga misol keltiring.