Kompakt operatorlar

Banax fazosida kompakt operatorlar. Chekli o‘lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlardan farqli o‘laroq, cheksiz o‘lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini to‘la o‘rganish ancha qiyin masaladir. Lekin kompakt operatorlarning spektrini to‘laroq o‘rganish mumkin. Kompakt operatorlar xossalariga ko‘ra chekli o‘lchamli operatorlarga o‘xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq tavsiflanadi. Bundan tashqari, kompakt operatorlar ko‘plab tatbiqlarga ega, masalan integral tenglamalar nazariyasida. Bu nazariyani biz keyingi 19 va 20-paragraflarda keltiramiz.

17.1-ta’rif. Agar va bo‘lsa, u holda ga chekli o‘lchamli operator deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda ga o‘lchamli operator deyiladi.

17.2-ta’rif. Bizga operator berilgan bo‘lsin. Agar operator dagi har qanday chegaralangan to‘plamni dagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator yoki to‘la uzluksiz operator deyiladi.

Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun (3.4-teoremaga qarang) uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi yetarli va zarurdir. Demak, chekli o‘lchamli fazodagi har qanday chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir va aksincha (3.1-natijaga qarang).