Kompakt operatorlar

Aim.Uz

Kompakt operatorlar
Dastlab normalangan fazodagi kompakt, nisbiy kompakt to‘plamlarga ta’rif beramiz. Chunki kompakt operatorlar shu tushunchalar asosida ta’riflanadi. Biz normalangan fazolarda kompaktlik kriteriylarini ham keltiramiz. Keyin esa asosiy tushuncha kompakt operatorga ta’rif beramiz va unga misollar keltiramiz.

Bizga Banax fazosi va to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamdan olingan ixtiyoriy ketma-ketlikdan da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, ga kompakt to‘plam deyiladi (3.6-ta’rifga qarang). Agar to‘plamning yopig‘i kompakt to‘plam bo‘lsa, u holda nisbiy kompakt to‘plam deyiladi (3.7-ta’rifga qarang). To‘plam nisbiy kompakt bo‘lishi uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli (3.5-teoremaga qarang). Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun (3.4-teoremaga qarang) uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional fazolardan biri fazodir. Bu fazodagi to‘plamning kompaktlik kriteriysi Arsela teoremasi (3.6-teoremaga qarang) yordamida bayon qilingan. fazoda to‘plam nisbiy kompakt bo‘lishining zarur va yetarli shartlari 3.8-teoremada keltirilgan.