Kirish i-bob. Matematika fanlarini o’qitishda zamonaviy axborot texnologiyalaridan foydalanish metodikasi

Isboti . a ni (2) tenglamaning butun ildizi desak ,
aⁿ+a₁a^n-1+a₂a^n-2+…+a_n-1a+a_n=0
yoki
a_n=a(-a^n-1-a₁a^n-2-…-a_n-1)
tenglikka ega bo’lamiz;
bu esa a_n ning a ga bo’linishini ko’rsatadi .
5. (2) tenglamaning chap tomonini x-a(a—butun son) bo’lishdan chiqqan bo’linma butun koefsentli ko’phaddir.
Isboti. Gorner sxemasi bo’yicha bo’linmaning koefsentlari quyidagi butun sonlarga teng : b₀=a₀=1 , b₁=a₁+a , b₂=a₂+ab₁ , … , b_n-1=a_n-1+ab_n-1 .
6. Agar a butun son (2) tenglamaning ildizi bo’lsa va ham butun sonlar bo’ladi .
Isboti. Haqiqatdan , f(x)=(x-a) tenglikdan
Hosil bo’ladi , bunda 5- xossaga binoan , butun koefsentli ko’phad .Demak , -butun sonlar .
7. a butun son (2) tenglamaning ildizi bo’lishi uchun
q_n-1 = , q_n-1 = , …, q₁ = . q₀ = =1 (4)
nisbatlar butun son bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zaruriyligi. a – tenglamaning butun ildizi bo’lsin. Gorner sxemasidan foydalanib, f(x) ni x-a ga bo’lamiz. Bu xolda bo’linmaning koefsentlari b₀ = 1, b₁=a₁+a, b₂=a₂+ab₁, ... , b_n-1=a_n+1+ab_n-2 tengliklar bilan aniqlanib, qoldiq nolga teng bo’ladi, ya’ni 0=a_n+ab_n-1. Bu tengliklardan

kelib chiqadi. Agar –b_n-1=q_n-1, -b_n-2=q_n-2,…, -1=q₀ deb belgilasak, (4) tengliklarni xosil qilamiz.
Yetarliligi. Endi , a butun son bo’lgani uchun (4) tengliklar kuchga ega deylik. Bu tengliklarning so’ngisidan a₁ + a=-q₁ ni topamiz. Gorner sxemasiga asosan, a₁+a=b₁. Demak, -q₁=b₁. ikkinchi tenglikdan _-q₂=a₂-aq₁=a₂+ab hosil bo’ladi.
Demak, yana Gorner sxemasi bo’yicha topiladigan b₂=a₂+ab₁ tenglikka asosan, -q₂=b₂. Bu jarayonni davom ettirib, birinchi tenglikdan a_n-aq_n-1=a_n+ab_n-1=0 ni hosil qilamiz. Ammo Gorner sxemasi bo’yicha r=a_n+ab_n-1. Shu sababli r=0 Demak, f(x) ni x-a ga bolishdan chiqqan qoldiq nolga teng bolganidan, a butun son (2) tenglamani ildizini ifodalaydi.
Shunday qilib, ratsional sonlar maydoni ustidagi tenglamaning ratsional ildizlarini hisoblash jarayoni quydagidan iborat:

1. 
   avval tenglamani (2) ko’rinishga keltiramiz;
   
2. 
   ozod handing bo’luvchilarini olib tekshiramiz:
   
3. 
   agar a ozod handing bo’luvchisi bo’lsa, f(1) va f(-1) ning a-1 va a+1 ga bo’linish-bo’linmasligini tekshiramiz:
   
4. 
   nisbatlardan biontasi butun son bo’lmasa, a ildiz bo;lmaydi. Sinovdan o’tgan a ni olib, 7-xossani bajarishni tekshiramiz. Buning uchun quydagi sxemani tuzamiz:
   

an	an-1	an-2	…	a1	1
qn-1	qn-2	qn-3	…	q0

Bunda q_n-1, q_n-2, …, q₁, q₀ sonlar (4) tengliklarga asosan topiladi. Agar q_l butun son va q₀ =-1bo’lagina, a ildiz bo’ladi.