Kirish i-bob. Matematika fanlarini o’qitishda zamonaviy axborot texnologiyalaridan foydalanish metodikasi

1-misol. P(x) ko’phadni (x-3)² ga bo’linganda qoldiq (x-1) bo’lsa P²(x) ko’phadi (x-3)² ga bo’lingandagi qoldiqni toping.


Yechish. P²(x)=

X^2-2x+1 X^2-6x+9	X^2-6x+9
	1
4x-8=r(x)

2-misol. P(x)=(x²-3x+2)³+2(x²-3x+2)²+2x²+x+10 ko’phadi (x²-3x+4) ga bo’linganda qolgan qoldiqni toping .
Yechish: P(x)=(x²-3x+2)³+2(x²-3x+2)²+2x²+x+10=T³-3t²*2+3*2²*t-8+2(t²-4t+4)+2x²+x+10=

2x^2+x+10 2x^2-6x+8	X^2-3x+4
	2
7x+2

R(x)=7x+2
3-misol. P(x)=x⁶-1 ko’phadni x²+x+1 ga bo’lingandagi qoldiqni aniqlang.
Yechish: P(x)=x⁶-1=(x³-1)(x³+1)=(x-1)(x²+x+1)(x+1)(x²-x+1);
(x²+x+1) r(x)=0.
4-misol. P(x+3)=x²-x+n bo’lsa P(x-2) ko’phadni x-3 ga bo’lganimizda qoldiq 10, n=?
Yechish:
P(x-2)=(x-3)*Q(x)+10
X=3 P(1)=0*Q(x)+10=10
X=-2 P(-2+3)=4+2+n
P(1)=6+n=10 n=4.


5-misol. P(x)=ax³+bx²+7x-12 ko’phadni Q(x) ko’phadga bo’linganda bo’linma x bo’lsa qoldiqni toping.
Yechish: P(x)=
r(x)=-12
Javob: r(x)=-12
6-misol. P(x)=x¹³+4x¹⁰+x⁸+5x⁷-2x³+3x-1 ko’phadni x⁴ ga bo’lgandagi qoldiq qancha.
Yechish: P(x)=x¹³+4x¹⁰+x⁸+5x⁷-2x³+3x-1=x⁴*Q(x)+r(x)

d

P(x)=x⁴(x⁹-4x⁶+5x)
-2x³+3x-1=x⁴Q(x)+r(x)
r(x)=-2x³+3x-1


Javob: r(x)=-2x³+3x-1

3. Yevklid algoritmi. Ko’phadlarning EKUBi va EKUKi
Butun sonlar uchun ma`lum bo`lgan Yevklid algoritmi va uning natijalarini ko`pxadga ham tadbiq etishini ko`rib o`taylik . f(x) 0 bo`lib f(x) ko`pxadning darajasi (x) 0 ko`pxadning darajasidan kichik emas deb faraz qilamiz va f(x) ni (x) ga bo`lamiz . Hosil bo`lgan bo`linma va qoldiqni mos ravishda g<sub>1</sub>(x) va r<sub>1</sub>(x) bilan belgilaymiz . Ma`lumki r₁(x) ning darajasi (x) ning darajasidan kichikdir . Endi (x) ni r₁(x) ga bo`lib , bo`linma va qoldiqni g₂(x) va r₂(x) orqali belgilaymiz . Yana r₂(x) ning darajasi r₁(x) ning darajasidan kichikligini etiborga olib , r₁(x) ni r₂(x) ga bo`lamiz va hosil bo`lgan bo`linma va qoldiqni g<sub>3</sub>(x) va r<sub>3</sub>(x) bilan belgilaymiz va h.k. Har bir qoldiqni bundan keyingi qoldiqqa bo`lamiz . Natijada darajalari kamayib boruvchi r₁(x) , r₂(x) , r₃(x), … ko`phadlar ( qoldiqlar) hosil bo`ladi . Bu qoldiqlarni soni albatta cheklidir , chunki ularni darajalari kamayib boruvchi (lekin manfiy emas) butun sonlar ketma ketligini hosil qiladi , bunday qator esa cheksiz bo`la olmasligi ravshan . Shu sababli yuqoridagi bo`lish jarayoni chekli bo`lib , biz shunday r<sub>k</sub>(x) qoldiqqa kelamizki , unga oldingi r<sub>k-1</sub>(x) qoldiq bo`linadigan bo`ladi . Natijada ushbu tengliklar sistemasini hosil qilamiz :
f(x)= (x) g<sub>1</sub>(x)+ r<sub>1</sub>(x) ,
(x)= r<sub>1</sub>(x) g<sub>2</sub>(x) +r<sub>2</sub>(x) ,
r<sub>1</sub>(x) =r<sub>2</sub>(x) g<sub>3</sub>(x)+ r<sub>3</sub>(x),
…………………………..
r<sub>k-2</sub>(x)= r<sub>k-1</sub>(x) g<sub>k</sub>(x)+ r<sub>k</sub>(x) ,
r<sub>k-1</sub>(x) = r<sub>k</sub>(x) g<sub>k+1</sub>(x).
Bu ketma –ket bo`lish jarayoni odatda Yevklid algoritmi deyiladi . Endi ko`phadning umumiy bo`luvchilari tushunchasini qaraylik .
3.1-Tarif. Agar f(x) va (x) ko`phadlar g(x) ko`phadga bo`linsa , u holda g(x) ko`phad f(x) va (x) ko`phadlarni umumiy bo`luvchisi deyiladi . f(x) va (x) ko`phadni bir necha umumiy bo`luvchilari mavjud bo`lishi mumkin . Masalan , f(x)= x<sup>4</sup>+x<sup>3</sup>-7x<sup>2</sup>-x+6 va (x) = x<sup>4</sup> -5x<sup>2</sup> +4 ko`phadlar uchun g₁(x) =x-1 , g₂(x) = x+1, g₃(x)=x-2 g₄(x)=x²-1, g₅(x) =x²-3x+2 , g₆(x)=x²-x-2 ,g₇(x) =x³-2x²-x+2 ko`phadlarni har qaysisi umumiy bo`luvchisidar .