Каттик жисм

Е „ ( к ) энергиянинг экстремумлар як,инндаги ёйилмасидан кел-
тириб чикарилган эффектив масса тушунчаси мазкур электрон­ лар ва ковакларга жуда катта аншушкда кулланиши мумкин.
Металлар, ярим утказгичлар, диэлектрикларга багишланган бобларда зоналар назариясиминг махсус тушунчаларига тухталинади.
Шундай килиб, ^аттик жисимлар квант физикаси энергия зоналари назарияси замннида металл, ярим утказгич ва ди­ электрик модцаларнинг электрик ва бошца хоссаларини рав- шан тушинтириб беради.


Саволлар ва масалалар
1. Кристалл каттик жисм учун Шрсдингер тснгламаси цандай ёзилади?
2. Адиабатик такриб нимадан иборат?
3. Бир электронли такрибнинг мазмуни кандай?
4. Крониг-Пенни модели нима ва у кандай хулосага олиб
келади?
5. Блох функциясини тавсифланг.
6. Кремний кристаллида т|=1,55 т 0, т2=тз=0,082то (бун­ да т 0 - эркин электрон массаси).
^{3 1} _■+ ^I ₁₊ ¹ ифодадан т ' массани топинг.
т Ш[ т 2


ЗД КИ Ц И Й КРИ С ТА Л Л К А Т Т И К Ж И С М Л А РД А ГИ
Н У КС О Н Л А Р
6.1. Кристаллардаги нуцсонлар хацида умумий муло^азалар
Олдинги бобларда цаттик кристалл жисмни мутлак тартиб- ланган, яъни атомларнинг катьий даврий жойлашишида \еч Кандай бузилиш булмаган жисм деб каралди. Фа^ат атомлар тебраниши бундан истисно эди.
Лекин, \ак;икий кристалларда \амма вакт кристалл панжа- расининг анча микдордаги бузилиши (нуксонлари) мавжуд булади. Даставвал макро ва микро нуксонларни фарцлаш ло- зим. Макрону^сонлар микроскопда осон кури нади. Бундай макронук;сонларнинг мисоллари - металл куймалардаги ко- ваклар, дарзлар, ёт моддалар киришмалари уюмлари, поли- кристаллнинг доначалари - айрим кристаллчаларнинг куринма чегараларидир. Электронлар микроскопиясининг пайдо булиши санаб утилган нуксонларни анча кичик улчамли булганда \ам кузатиш имконини берди.
Микронуксонларга ёки . атомлар улчамида караладиган нуксонларга уч улчамдан (х,.у,г) \еч бУлмаганда бири кристал панжарасининг а =0,2+0,5 нм даври билан таккосланувчи
булган нуксонлар мансуб булади. Айрим кУринишдаги нуксонларни царашдан олдин ^ацикий кристаллни нуксонсиз (идеал) кристаллдан фаркловчи умумий белгиларни топайлик.
Идеал кристаллда атомлар катьий даврий жойлашганлиги окибатида кристалл ичида даврий электрик майдон шакллан- ган булади. Кристаплнинг даврий ички электр майдонининг
\ар кандай бузилиши нуксон булади. Нуксонлар мисоли та- рикасида ёт атом - киришманинг кристалл атоми Урнига жойлашиб олиши ва кристалл атомининг жойилан кетиши — вакансия (буш жой) \осил булишини келтириш мумкин.




Агар кристаллдаги нуксонлар оз булса, бу \олда улар бир- биридан анча йирокда жойлашган, яъни кристалл панжараси нуксонлари ма^аллийлашган булади. Бунда кристалл ичидаги электр майдон фак,ат нуклон атрофидагина бузилади, бошкача айтганда, кристаллнинг даврий V,, потенциалига нуксон якинида У' кУшимча потенциал кУшилади, тУла потенциал V =У0 + У булади. Шунинг учун \ам факат шу со\ада булган
электронларнинг энергетик \олатлари узгаради, бу эса идеал катгик жисм электронлари энергия зоналарига кушимча ма\аллий энергетик \олатларнинг пайдо булишига олиб кела- ди. Бундай ма\аллий *олатлар сони N нуксонлар сонига тенг, ёки агар бир нуксон бир неча холатда була олса, ма^аллий
\олатлар сони нуксонлар сонидан катта булади.
Ма\аллий энергетик сат\пар (\олатлар)да электронлар богланган, бу богпаниш турли каттик жисмларда мо\иятан турличадир. Металларда нуксонлар пайдо килган сат\пар рух- сат килинган энергиялар зонаси ичида жойлашади. Металлар­ да электронлардан буш нуксонларнинг ионланган \олатда булишлиги энг э\гимоллигидир.
Ярим утказгичлар ва диэлектриклар электронлари такикпанган энергиялари зонаси булган энергетик спекгрга эгадир. Албагга, бундай кристалларда ма^дллий энергетик \олатлар рухсатланган зоналарга тушиши мумкин. Агар улар угказувчанлик зонасида жойлашса, уларни резонанс сат\лар, агар улар валент зонасида жойлашса, уларни анти резонанс сат\лар дейилади. Бу \олларда нуксонларга тегишли электронлар улар билан боншниижни йукотади ва умумлашган
зона электронлари жамоа- ^ _ь
^{сига кушилади. Лекин, j--------} Г'
аксарий куп \олларда i ___________
нуксонлар сат\парида
жойлашган электронлар а 1
нуксонларга богликпигича 6.1-чизма. Тацш^анган зонадаги ма\аллиИ КОЛИШИ мумкин, уларни сат*яар
факат иссикпик \аракати
ёки бошка энергия манбаи ^исобига уз нуцсоиларидан ажратиб юбориш - активлантириш мумкин. Нуксонларга боглик элск- тронлар электр утказувчанликда катнаша олмайди, албатга. Бун­ дай нуксонларнинг электронлар учун сат\чари ярим утказгичнинг (диэлектрикнинг) такикпанган зонасида жой-


лашган булади. Бу 6.1- чизмада курсатилган. Кайси бир ман- бадан олинган энергия эвазига нуксонлар ионланади? Бир хиллари Утказувчанлик зонасига электронлар бериб, узлари мусбат зарядли нуксонларга (6.1, а- чизма), бошк,а хиллари, аксинча, электронларни тутиб олиб, манфий зарядли нуксонларга (6.1 , б- чизма) айланади.
Утказувчанлик зонасига электронлар бера оладиган нуксонларни донорлар дейилади, таркибида донорлар булган ярим утказгичларни эса электрон утказувчанликли яримутказгичлар ёки п - тур ярим утказгичлар дейилади. Мос равишда ярим утказгичларнинг утказувчанлик зонасидаги электронлар кучиши билан ботик электр Утказувчанликни электрон электр Утказувчанлик ёки п — тур Утказувчанлик дейилади.
Агар кристаллни киздирганда электронлар валент зонадан нуксонлар сатутрига ута олса, бу \олда валент зонада
\аракатчан мусбат зарядли коваклар пайдо булади, ковак электр утказувчанлик вужудга келади. Электронларни узига кабул Киладиган нуксонларни акцепторлар деб аталган, таркибида ак- цегггорлар булган ярим уггазгични эса ёки ковак утказувчанликли ярим утказгич ёки р - тур ярим утказгич дейилади.
6.1- чизмада донорлар сатутри утказувчанлик зонаси туби якинида, акцепторлар сатулари эса - валент зона шипи якикида тасвирланган, Хусуси^ ионланишга нисбатан нуксонлар ионланиши зуча осон, кичикрок, температураларда
юз беради. Сатутарнинг донор ёки акцептор булишлиги маз- кур сатуюрни \осил цилувчи нуксонларнинг табиатига боглик,. Денорлар электронйарни фацат утказувчанлик зонасига эмас, балки акцептор табиатли \ар кандай нуксонга бера ола- ди. Акцепторлар электронларни валент зонадан кабул килиш билан бир вактда кристаллдаги \ар кандай донордан \ам оли-
ши мумкин.
Ни\оят, амфотерлик хоссалари намоён буладиган, яъни донор \ам, акцептор \ам була оладиган табиатли нуксонлар мавжуд. Нуксонларни синфларга ажратиш кристалл майдони- нинг нуксон томонидан бузилиши Улчамларига асосланган:
А) нуктавий (нол улчовли) нуксонлар, уларга улчамлар х(а,у(а,г(а булган нуксонлар мансуб, бунда а — кристалл панжараси доимийси;


Б) ч и з и р и й (бир улчовли) нуксонлар, икки йуналишда уларнинг улчамлари кичик (< д) ва учинчи йуналишда улчами кар канча булиши ( » а ) мумкин;
В) ясси (икки улчовли) нуксонлар, уларнинг бир
йуналишда улчами кичик, холос.
Г) \ажмий (уч улчовли) нуксонлар, уларнинг баъзилари макро нуксонларга тааллукли булади.
Бу улчамлар буйича синфлашга бир неча бир хил ёки чар
хил содда нуксонларнинг бирлашмасидан иборат мураккаб нуксонларни \ам киритиш мумкин.
У ёки бу нуксон пайдо булишида уринли буладиган тартиб-
сизланиш авзойига караб \ам нуксонларни бошкача синфларга ажратилади. Аввало улар хусусий тартибсизланиш нуксонлари булиб, уларнинг энг му\им мисоллари электрон ва атомга оид нуксонлардир. Улар катгик жисмлардаги диффузия, эритмалар парчаланиши ва бошка \одисалар иштирокчиларидир.
Бу синфга \аракат нуксонлари, йУналганлик нуксонлари, экситонлар, электрон - ковак жуфтлар, фононлар ва поля-
ронлар мансубдир.
Киришма атомлар мавжуд булишига бомик булган тартиб­ сизланиш нуксонлари бошка синфни ташкил килади.
6.2. Нуктавий нуксонлар
Нуктавий нуксонларнинг катгик жисмда \амма вакг мав­ жуд буладиганлари атомлардан бушаб к °лган тугунлар — ва- кансиялар ва тугунлар оралигига жойлашиб олган атомлардир.
Вакансияларнинг мувозанат шароитида *осил булиши кристалл агомларининг иссикпик тебранишлари билан ботик, МУьтааил температураларда атомлар тебранишларининг уртача амплитудаси атомлар аро масофа (панжара доимийси)нинг бир неча фоизига етиши мумкин. Тугунлар атрофида тебранувчи аггомларнинг энер- гияси жуда кичикдан то анча катта кийматларга эга була олади.
Юкори энергияли атомлар Уз мувозанатий вазиятларидан
узоклашиб кетиши (тугунни ташлаб кетиши), тугунлар орали™ га утиши мумкин. Тугунлар оралигига утган ат<3м яна буш тугунга цайтиши — рекомбинацияланиши мум1фн. Лекин, мазкур атом вакансияга энг якин тугунлар оралигидац, узокрокдагиларига то- мон диффузияланиши чам мумкин. Шу равишда Френкел
^уцсонлари деб аталган вакансия —тугунлараро атом жуфтлари


1.1. Электронлар- _{1.1.1. Эркин га оид} электрон-
1.2. Атомларга _1.1. ^лар _{кин
оид} 2. Эр
1.3. Харакат _1. ^{коваклар} _{я- нуксонлари} 2.1.Ваканси
1.4. Ойналганлмк _1.2. ^лар_гвилар
2. то
^{нук,сонлар} аро атом
_{1.5. Уюшган} 1.2.3. Антитим- нуксонлар ^лаш
нуцсонлари
1.2.4. Финонлар
11.1.Урин эгаллаш _{1.5.1. Элекгрон-} киришмалар _лар
^{11.2.Сукилма} 1.5.2. Электрон
_{в g} киришмалар ^ковак

1П. 1.Днслокациялар _{1.5.4. Дивака-}

Ш .2 .К и чи к бурчакли _сиялар
чегаралар
1П.З.Кристалл чегара лар

IV . 1.Уюшмалар L2 —II. 1

_£ 1У.2.Уюшмалар 1.2—III. 1 1У.З.Уюшмалар 11.1—111.1

6.2 — чмэма. Крисгаллнинг тартибси^паниши б?йича нуксонларнинг синфлари.

вужудга келади. Улар кристалл \ажмида кучиб юради, бу дай- диш жараёни бу икки нукгавий нуксон кУшни вазиятларда уч- рашиб, рекомбинация юз бергунча, ёки улардан бири ощ гга чициб олмагунча давом этади.
Агар вакансия, кристалл буйлаб диффузияланиб, сщ лга чикса, бу хрлда унга ичкарироедаги кдтламдаги атом Утиб олиши мумкин. Пайдо булган вакансияга кейинги кртламдаги атом


угади ва \.к, нлтижада 1у|унлар аро ^О_п ^О_л ^О_л ^О_{л л}^О _о^О _л^О _п^{О ОО}_{п л} ^О_{л л}^Оч_'
О О О О О О О О ООО О О О О
лтомпарсиз вакансиялар паидо ^{00 ----О О О ОО О О О О О}
булади. Бу хип вакансияпарни о⁰⁰о^Соодро^Оо^О о^{О О}о о о^ООо ^ООо^Оо
^{гки нуцсонларн дейилади. о}о^оо^оо^оо^оо^оо^оо^оо о^ооо о о^оо^оо^оо^оо^{о Шо}Тугунпараро этом кристалл оооооооо о о о о^оо о о
\ажмидан сиргга чикден атомлар
КуШИМЧа К^ГГЛаМ \ОСИЛ купаДИ, 6.3-чизмл. Фрснксл(а). Шоткн(б)
кристалл \ажми бир мунча оргаои. н у к с п н л и п и .
6.2.1. Металлар ва метал котишмаларда вакансиялар
Металл кристалларда, айницса зич тахланган кристалл панжарали булганларнда, тугунлар оралиги улчамлари кичик ва уларда атом жойланиши \амда бу оралииукф буйлаб диффу- зияланиши кийин. Шуиинг учун мекгпларда Шотки вакансия- лари мавжуд булиши э\гимоллиги каттарок-
Иккала хил вакансиялар зичлиги даставвал температурага
боглик, чунки улар атомларнинг иссикушк \аракати туфайли пайдо булади ва бинобарин, температура ошган сари вакан­ сиялар сони ортиб боради.
Вакансиялар зичлигининг температурага микдорий
богланишини топайлик.
1. Дастлаб Шотки нук^сонлари - вакансиялар зичлигини температурага боглоааи ифодани аник^паймиз. Куйидаги бел- гилашларни к;абул киламиз: Уш — Шотки нуксони \осил булиши энсргияси, п — вакант (буш) тугунлар вакансиялар зичлиги, N — тугунларда турган атомлар зичлиги булсин. У
\олда бирлик \ажмдаги вакансияларни \осил килиш энергия-
си Е~пУш.
Статистик физикада исботланишича, системанинг (биз- нинг \олда вакансиялар ва тугунларлаги атомлар системаси- нинг) энтропияси 5 билан унинг \олатлари э\тимоллиги IV орасида курипишдаш богланиш бор, бундаги И^э\тимоллик ифодаси:
(6 . 1)
( 6.2)



Стирлинг такрибига кура, х»\ булганда