Каттик жисм

° \ ~ С \\ е \ + С 12 £ 2 + С' | З е З + С 1 4 е 4 + + С 1 б * 'б


( У 2 ^ 21^1 ^ 2 2 ^ 2 ^ 23^3 ^*24^4 ^"25^5 ^ 2 Ь ^ Ь
3=СпеI +С32^2 +С33^3+С34С4 + + _(9.12)
<Т4 — +^42^2 + С 4 ^ 1 + С 44С 4 + С'45е 5 С4йС 6
(Т5 =СЧС, +с52е2 +с53е3 +с^е4 + с„е5 +см£6
° 6 = СЬ\£\+СЫ£1+CЫ£i +СЬ*еА+ 5 + СЫ>^6
Ушбу ифодани кис^ача матрица куринишда ёзиш \ам мумкин:
^{о.. = с р .,} (9.13)


бу ерда я,m - 1,2,3,4,5,6. Тензор куринишда ёзиш учун эса ик- кита индекс сакланиши керак:
=са„ е н (914)
(9.13) ифодадаги cik¡i коэффициентлар чизикий эластиклик модуллари деб аталади. Ушбу тензор \ам симметрияга эга, шунинг учун унинг 36 та ташкилловчисидан 21 та мустакил компонентага келтиришимиз мумкин. Эластиклик модули матрица куринишда куйидагича ёзилади:
С’|1С21С>?1С-<1^51С61
C 2 t C 2 2 C 1 2 C 4 2 C b l C t>2


_{с* =} C i \ C 2 ) C \ 3 C 4 i C H C b ' _(9.15) С41С24С34С44СМСМ
^51 С И С 35 ^ 4 S ^ » ^ 6 Í
СМ^26^36^46
Бундай куринишда тензор \еч кандай симметрияга эга булмаган му\итнинг эластиклигини характерлайди. Кристал- ларда симметриянинг мавжудлиги мустакил модуллар сонини намойишига олиб келади. 9 .1-жадвалда турли кристалл гу- pytyiapH учун мустакил эластиклик модуллари келтирилган. Бунда, албатта, координатапар уки кристаплографик укпарига нисбатан маълум бир танланган йуналишда йуналтирилган деб олинади.
9. ¡-жадвал
_{№ Кристалл Муставил} Эластиклик модули ^{Кристалл} спнгонияси Симметрия ^{модуллар матрицаси номи
гуру\и} _сонм (мпсол)
I I I ^{I I I IV V V I}
_{1 Три клин C i,S 2 21} С|| С(2 Сц С|4 C|S С,6 _ку ^Мис
С22С2.?С24C2S ^пороси
С26
сзз С34С35Cjh С44С45 С4(,
С5(,
См,




9.1- жадвалнинг давоми
^{I I I II!} IV _{V VI}
^{2 Моноклин СгХ'гь 13} С и с 12 С|3 0 Гипс
^Ч о сх>
с 22
С23 0 0 С26
Сзэ 0 0 сз*
С44 С45 0
с « 0
^{Ромбик 0 2кУ 9} С||С|2С13 0 _Ссгнст
СгуКОги ^{0 0} _тузи
С22
с 23 О О О
Сзз О О О
с 44 0 0
С55 0
См,
^{4 Тетрагонол} С4.С4Ь 7 _{СП С 12С|3 0 Шеелит} ^С4у о С | 6
С13 0 0 -С|6
Сзз 0 0 о
С44 0 0
С55 0
^{Ь -РР- 54- 0 2(1. 6 Си С|2 С|3} Аммоний
^{^4- Э 4Ь} О О О _{Дитодро-
Си 0 0 0} си ^{фосфати}
С33 0 0 0
С44 0 0
С55 0
^{6 Тригонал Сз. СМ 7 СИ С|2 С,з С14 -С25} Доломит
0
С|4 С25 0
Сзз О О О
С44 0 -С25
С44 С|4
\(сн - си )
^{) .РИ- 0 .1, 0 3у. 6} СЦ С|2 С,з С14 0 _{а-кварц,}
^{^3«! 0} турмалин См С)3 —С|4
0 0
Сзз
О О О
с 44 С |4
Х ( С „ ~С|2>


9. /-жадвалнинг давоми
1 ^{II III IV V VI}
_{8 Гексагонал Сл„ Dji,. 5} Cj| C|2 С(3 0 0 ^{О-кварц.}
_{С*. Df, 0} кадимни
Cftl). Cfiv ^{Cl! С|Э 0 сульфнди}
D(,h ^{ü 0}
О О О
С44 0 0
С44 0
X ( c ii —С] i)
₉ Кубик т. О, т„. ³ 4 l cl2c»2 о ^{Ишкорий} _{Td. Oh 0 0} к галлоид р О О О _{Си С|2} рмсталла
с,| 0 0 0
С44 0 0
С44 0
₁ i -- 1 ^{1 cu}
9.6. Изотроп катти* жисмнипг эластиклик модуллари
Изотроп му\ит учун эластиклик модуллари координаталар укига борлик булмайди. Бу эса
С,, =С„ =С,3, СА4 =С„ = С Ы, =(с,, - с п )/2, Си - С22 =ci} (9.16)
булишини таъминланди. Дсмак, изотроп каттик; жисмларда фа Кат иккита мустакил эластиклик модуллари мавжуд экан:
А - с., =сп /<=с« = =с* ва (9.16) га acocan, с„ = сil ~ Cjj =Я +2//
Ушбу ифолаларлаги X ва ц катгалнкларни Ламэ доимийла- ри деб аталади. Изотроп каттик жисм учун Гук конуни Куйидагича ёзнлали:
о л = т л + 2 / ifr t .(/.A = 1,2,3) (9 .17 )
Bv ерда i^"£22"^33 — \ажмий кспгайиш коэффициенти, ст,*- Кроннскср символи. Эластиклик модуллари г,(т деформа- цияланиш каидаН жараёнда олмб борилганига к:1рлб адиабатик ва изотермик эластиклик модулларига ажратилади. Масалан, товушнинг таркалиш жараёнидаш деформациями адиабатик деформация деб цараш мумкин. Секин узгаралиган деформа- цияларни эса изотермик деформациялар деб олишимиз мум­
кин.


9.7. Содда деформация ва уларда турли эластиклнк модуллари орасидагн богланиш
Изотроп мухптдаги содда деформацияларни куриб чицамиз. (9.17) ифодага acocan, изотроп му^ит учун Г у к конуни


а и =(А +2,и)£„ + Ле22 + Леп = Я0 +2/«?п
(У22 = А 0 +2це22
= Л0 +2це33
Gn =cr3i =2//е12 ^(9.18)
= С Г 31
а ,2 =ÍT2I =2^£21
куринишда ёзилиши мумкин.
Юкоридаги тенгламалардан деформация компонеитларини топамиз.
2(Я +//)а|, -Я<т,, - Ясг„
2^(ЗЯ+2^)
_{е22 =} -Яст,, +2(Я +/^>^32 - Л а п _(9.19) 2/*(ЗЯ+2/0
₌_ -Я<гп -Ясг:, +2(Я +/Qo’jj 2/1(ЗЯ +2/0
Уш бу ифодалар бир канча содда деформацияларни тахлил килиш имконини беради.
а) Стерженнинг чузилишини куриб чикайлик. Бунда куч- ланиш фа кат стержен узунаси буйлаб кУйилади: о и = а п =ст,
бошка барча таш ки кучланишлар мол га тенг i * к булганда
о л =0.
(9.19) тенгламалардан
г - А А +Ю ° . = _ _ ^Ясг
" л(ЗЯ +2Ю* :: ” _{2/м(ЗЯ +2/0} ^(9.20)
эканлигини топамиз. Юкоридаги ифодалардан куриниб туриб- дики. агар стержен х — уки буйича чузилса, у шу у к к а


кундаланг йуналишларда ( к ) ички кучлар таъсирида сикдлар
экан (£22, £зз<0)-
еи билан (торасидаги коэффициент стерженнинг эластик-
лигини билдирувчи катталик булиб, унга тескари катталик Юнг модули деб аталади:
Е _ (ЗА +2ц)ц (9.21)

у \олда

(9.22)

Шундай килиб, Юнг модули стерженни чузишга нисбатан

^аттикушгини билдирувчи коэффициентдир. Сон жи\атдан Юнг модули деформация бирга тенг булгандаги (бунда жисм икки марта узаяди) кучланишга тенгдир.
Стерженнинг кундаланг деформациясининг буйлама де-
формациясига нисбати Пуассон коэффициенти деб аталади.


V« = ⁼ _О ^{-------- (9-23)}
_{^.1 Си} •2 2(А +ц)
Турли моддалар учун Пуассон коэффициенти 0.2-5-0.5 ора- ликда б^лади. Юнг модули ва Пуассон коэффициентлари изо­ троп му\итларнинг эластиклик хоссаларини тулик, ифодаловчи мустак.ил катталиклар \исобланади. Ламэ константаларини
\ам ушбу катталиклар орк,али ифодалаш мумкин:
А =у0£[(1 +^0)(1 -2и0)]_,,| (9 24)
ц = Е\2(1+у0)Г' ]
Баъзи бир моддаларнинг изотроп \олатлари учун Е Юнг модули, у0 Пуассон коэффициенти ва Уо силжиш модуллари С 9.2- жадвалда келтирилган.
б) Бир жинсли чузилиш.
Энди деформация фак,ат х — уки буйлаб нолдан фарк^и булган холатни куриб чицамиз. Бунда уг


\
^{№ Мошшшнг номи Е 10-,eH Fn 2} V» ^{G 10*10 HFm2} 1 ^{Волфрам 36.0 0.27 13.3}
2 Пулат - 3 22+24 ^0.30 8.5+88
3 ^{Темир 21 0.28 8.2}
4 ^{Мне 12.0 0.35 4.6
5 ЖС4} 9+10 ^{0.35 3.0+3.7}
6 Олтин 8.0 ^{0.41 2.9}
7 Алюминий 7.0 0.34 ^2.6
8 Калай ^{5.4 0.33 2.0}
9 ^{К у р г о ш и н 1.6 0.44 0.6}
10 Кнарц ^{7.4 0.18 3.2}
11 Крон ойнаси 7.2 0.25 ^2.9
12 ^{Флинт ойнаси 5.5 0.23 2.4}
13 ^{Чинни 6.0 0.23 2.4
14} Муз ^{1.0 0.33 0.4}
15 ^{Плексиглас 0.5 0.35 0.15}
текислик буйича деформация нолга тенг булсин: £ц*0, С22=£33=0.
Бундай деформациями чексиз изотроп му\итда тарцалаётган буйлама акустик тулкинлар содир килади. Гук Конунига асосан, (9.18) ифодалардан
стм =(Я +2/л)£1|, е „ - а п =Леи (9.25)
Демак, бу \олда кундаланг мусбат кучланиш пайдо булади.
Эластиклик модули эса
см =Я +2ц (9.26)
ифода билан аниманади. (9.24) ифодадан фойдаланиб,
с„ =£[2(l +v 0K l- v 0)]-' (9.27)
эканлигини топамиз. Охирги ифодадан куриниб турибдики, vq нинг \ар цандай \акикий цийматида £<сц булади. Бунинг фи­ зик маъноси шундан иборатки, кундаланг деформациянинг йук^иги му\итнинг х Уци буйича чузилишини кийинлаштиради ва натижада му\итнинг эффектив каттик^иги ошади.
в) Соф силжиш.
Кучланиш тензорини ху текисликда силжима (ёки танген- ципл) ташкилловчиси =а т таъсир килаётган б^лсин.
К,олган барча ташки.пловчи нолга тенг. Бу \ол силжиш деб




аталади. (9.19) пфодаларлан фойдаланиб, куйидагини \осил Киламиз:

^ = * = .= % • (928)

Олдин айтиб утганимиздек, деформация теизорининг £12
компонентаси ту текисликдаги силжиш бурчагининг ярмига
тенг: Тулик, силжиш бурчаги эса