Каррали интегралларни хисоблаш

2)Катакчалар методи.
тўртбурчак бўйича олинган интегрални караймиз. Тугун нуктаси интеграллаш кесмасининг ўртасида олинган тўгри тўртбурчак квадратур формуласига ўхшаш, интегралланувчи функцияни унинг тўртбурчак марказидаги кийматига алмаштириш мумкин. Унда интеграл енгил хисобланади:
(8)

Аникликни ошириш учун D интеграллаш сохасини тўгри тўртбурчакли катакчаларга ажратиш мумкин. Хар бир катакчада интегрални ўрта киймат формуласи бўйича хисоблаб, барча катакчалар бўйича хисобланган кийматларни кўшиб чиксак
(9)
формулаларни хосил киламиз.
Бунда S_k ,k - катакчанинг юзи, сонлар k катакча огирлик марказининг координаталари. (9)- формуланинг ўнг томонида интеграл йигинди турибди, шу сабабли хар кандай f(x,y) узлуксиз функция учун бу йигиндининг киймати, катакчаларнинг периметри нолга интилганда, интеграл кийматига интилади. Бу интеграллаш формуласининг хатолигини бахолаймиз. Аввало шуни кайд этамизки бу формула хар кандай биринчи даражали кўпхадни аник интеграллайди. Бу хоссани инобатга олиб,

Тейлорнинг формуласидан фойдалансак, бунда барча хосилалар катакларнинг ўртасида хисобланган, хатолик учун куйидаги тенгликни хосил киламиз:
. (10)
Фараз киламиз, (9)-мураккаблаштирилган формулада D cоханинг томонлари N ва M бўлакка бўлинган бўлсин. Унда хар бир катакча учун (10) - интеграллаш хатолиги

кўринишида бўлади.
Бундай хатоликларнинг барча катакчалар бўйича йигиндиси:
(11)
яъни умумий хатолик иккинчи тартибли кичик микдор бўлади. Катакчалар методини мураккаброк сохалар учун умумлаштирамиз. Агар, S,D – соханинг юзи ва огирлик маркази деб тушунилса
(8) - формуланинг ихтиёрий D бўйича чизикли функция учун аник эканлигига ишонч хосил килиш кийин эмас.
Маълумки D соханинг огирлик маркази оддий
(12)
формулалар ёрдамида топиладилар. Шу сабабли (8) - формула D- соханинг юзи ва огирлик маркази осон топиладиган сохалар учун амалий ахамиятга эга. Бундай сохалар учбурчак, тўртбурчак ва мунтазам кўпбурчакдан иборат бўлиши мумкин.
Бу , (9)- умумий формулани D-соханинг чегараси синик чизикдан иборат бўлганда кўллаш мумкин демакдир, чунки бундай сохани учбурчак, тўртбурчакларга ажратиш мумкин.
Чегараси эгри чизикдан иборат бўлган холда (9) - умумий формулани бошкача усулда кўллашади. Сохани тўгри тўртбурчакли тўр билан коплайдилар. Сохада тўла жойлашган катакчаларни ички катакча деб атаймиз; агар катакчада соханинг нукталари хамда сохага тегишли бўлмаган нукталар тегишли бўлса, бундай катакчани чегаравий катакча деб атаймиз. Ички катакчанинг юзи унинг томонлари кўпайтмасига тенг. Чегаравий катакчанинг юзи
D - соханинг катакчага тегишли бўлган кисмининг юзига тенг. Лекин уни хамма вакт хам аниклаб бўлмайди. Бу катакчанинг юзини топиш учун унга тегишли D – соха кисмининг эгри чизикли чегара кисмини ватар билан алмаштирамиз ва унинг юзини хисоблаймиз. Бу киймат чегаравий катакча юзининг такрибий киймати бўлади. Топилган кийматларни (9) - формулага куйиб интегрални хисоблаймиз. Хар бир ички катакчада хатолик O(N^-2) .Чегаравий катакчаларда хатолик O(N^-1). Аммо чегаравий катакчаларнинг сони O(N^-1) . Шу сабабли умумий хато O(N^-2) бўлади.