Kamilova zebiniso nusrat qizi son tushunchasining rivojlanish tarixi va istiqbollari

 

---

40 
 
ILOVA 
 
ARIFMETIKADAGI BA’ZI MASALALAR 
1.
 
OXIRGI RAQAMNI TOPISHGA DOIR SODDA USULLAR 
 
 
Arifmetik hisoblashlar natijasida hosil bo`lgan sonning faqat oxirgi bir yoki 
bir nechta raqamini topishga doir masalalar ko`pchilik singari maktab 
o`quvchilarini ham qiziqtiradi. Ushbu masalalarni yechishning turli usullari 
mavjud bo`lib, ayrim usullar sonlar nazariyasining qoldiqlar bilan ishlaydigan 
bo`limlariga tegishli bo`lgani uchun o`quvchilar ularning tub mohiyatini 
o`rganishga birmuncha qiynaladilar. Bunday masalalar turli matematik 
musobaqalar va olimpiadalarda berilib, o`quvchilardan topqirlik, ijodkorlik 
qobilyatlarini baholashda qo`llaniladi. 
Biz quyida matematikaga endigina qiziqib kirishayotgan o`quvchilarga ham 
tushunarli bo`ladigan hisoblashlar haqida fikr yuritamiz. Bu yo`lda quyidagi 
misolni keltirib o`tmoqchimiz.
Misol. 2
2005
ning oxirgi raqami topilsin. 
Yechish. Bizga ma’lum darajalar ketma-ketligi 2
1
=2, 2
2
=4, 2
3
=8, 2
4
=16, 
2
5
=32, … kabi davom etadi. Bunda oxirgi raqam 4 qadamdan so`ng, ya’ni, 2, 4, 8, 
6 kabi takrorlanishidan natija bu raqamlardan biri bo`lishini bilamiz. 
Takrorlanishlar davri 4 bo`lgani uchun 2005 ni 4 ga bo`lib, 1 qoldiqqa ega 
bo`lamiz. Demak, 2
2005
=...2 bo`lar ekan. 
Daraja asosida boshqa son bo`lganda ham yuqoridagi usuldan foydalanish 
mumkimligi barcha o`quvchilarga osongina tushuntiriladi. Endi boshqa masalani 
qaraymiz. 
Misol. 
2
2005
ifodaning oxirgi ikki raqami topilsin. 
Yechish. Bu masalani yechish uchun o`quvchiga yuqoridagi ketma-ketlikni 
davom ettirishni tavsiya etamiz:

---

41 
2
1
= 2, 2
2
= 4, 2
3
= 8, 2
4
= 16, 2
5
= 32, 2
6
= 64, 2
7
= 128, 2
8
=
256, 2
9
= 512, 2
10
= 1024, 2
11
= 2048, 2
12
= 4096, 2
13
= 8192.
Ko`paytirish tobora qiyinlashib, o`quvchiga zerikarli bo`lib bormoqda. 
Bizga, qidiralayotgan sonning faqat oxirgi ikki raqami zarur bo`lgani uchun, 
keyingi ko`paytirishlarni natija oxiridagi ikki xonali son uchun bajarish va oxirgi 
ikki xonasini qoldirish yetarli:
2
14
= ⋯ 84, 2
15
= ⋯ 68, 2
16
= ⋯ 36, 2
17
= ⋯ 72, 2
18
= ⋯ 44, 2
19
=
⋯ 88, 2
20
= ⋯ 76, 2
21
= ⋯ 52, 2
22
= ⋯ 04, …
So`ngi natija, takrorlanish 
20 
qadamdan keyin ro`y berishini ko`rsatadi. 
Bularni quyidagi ko`rinishda jadvalga joylashtiramiz.
2 ning darajalari uchun oxirgi ikki raqami uchun jadval