Ixtisoslikdagi

5 .10 . M (-8 ; - 1 0 ) , N(—1; 7) nuqtalardan o ‘tuvchi aylana ordinatalar o‘qiga urinadi. Uning tenglamasini tuzing.
5.11. Quyidagi aylanalaming markazi C ning koordinatalarini va radiusi r ni toping:
1) x2 + y 2 - 8 x + 12y — 29 = 0;
2) x2 + y 2 — 6x — 4y — 17 = 0.
5.12. Quyidagi aylanalaming koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping: ,
1) x2 + y 2 — 4x + 4y + 3 = 0;
2 ) x2 + y 2 + 6 x + l ly + 1 0 = 0 .
5.13. x2 + y 2 + 6 x — 14y —6 = 0 v a x* + y 2 — 24x + 2y — 51 = 0
aylanalar markazlari orasidagi masofani toping.
5.14. x —y + 1 = 0 to‘g‘ri chiziqning x2 + y 2 — 4x + 16y — 5 = 0
aylana bilan kesishish nuqtalarini toping.
5.15. Markazi C(8 ; 6 ) nuqtada bo'lgan va 5 x— 12y= 46 to ‘g‘ri chiziqqa uiinadigan aylana tenglamasini tuzing.
5.16. x2 + y 2 — 2 x + 2y — 23 = 0 aylananing A(4; —5) nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzing.
89


6 - §. Ellips
Ellips deb fokuslar deb ataluvchi ikkita tayinlangan nuqtagacha bo£lgan masofalari yig'indisi o£zgarmas (2 a) bo‘lib, fokuslar orasidagi masofa (2 c) dan katta bo‘lgan nuqtalaming geometrik o£miga aytiladi. Fokuslari F{ va F} nuqtalar Ox o'qida joylashgan, koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik ellipsning kanonik (sodda) tenglamasi (2 0 - rasm)

ko£rinishda bo£ladi.

Ellipsning o‘z simmetriya o‘qlari (koorinata o‘qlari) bilan kesishish nuqtalari Avva A,, va 5 , eliipsning uchlari deyiladi.
A f f = 2a — katta o‘q, ByB2 - 2b — kichik o‘q, jumladan, a — katta yarim o ‘q, b — kichik yarim o ‘q deb aytiladi. F f —c; 0), F2 ( c ; 0) fokus nuqtalarining koordinatalarini topishda
^ a 2 — b 2 — c 2 (2 )
tenglikdan foydalaniladi, bu yerda c — fokus nuqtalar orasidagi masofaning yarmi. Fokus nuqtalar orasidagi 2c masofaning katta 2a o'qqa nisbati ellipsning ekssentrisiteti deb yuritiladi. Ekssentrisitet

e = ^'—^C ₍₃₎

a
formula bilan hisoblanadi. Ravshanki, e < 1.

9 0

Agar koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik ellipsning fokuslari Oy o‘qida yotadigan bo‘lsa (21- rasm), u holda b > a bo'ladi va BXB 2— 2b — katta o‘q, A^A^ — la kichik o‘q bo‘ladi.
Bunday ellipsning ekssentrisiteti
c
^e _b (4)
formula bilan hisoblanadi, bu yerda c2 = b2 — cf.
Ellipsning ixtiyoriy M(x, y) nuqtasidan fokuslaigacha masofalari ellipsninig fokal radiuslari deyiladi. F{ va F2 — fokuslargacha bo‘lgan fokal radiuslami mos ravishda rxva r2 orqali belgilasak, ular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi.
rx=\a —£x|, r 2—\a + ex\. (5)
1- misol. 9x2 + 2 5 / — 225 = 0 elhpsning uchlarini, o'qlarini, fokuslarini va ekssentrisitetini toping hamda ellipsni yasang.
Berilgan tenglamani (1) ko‘rinishidagi kanonik ko‘rinishga keltiramiz, buning uchun ozod hadni o‘ng tomonga o‘tkazamiz va tenglamaning barcha hadlarini unga bo'lamiz. Natijada

= 1 .

| - + T = ly o k i
91



22- rasm.
Hosil qilingan tenglikdan a — 5, b — 3 ni aniqlaymiz. Bu yerda ellipsning o‘qlari 2 a — 1 0 , 2 b — 6 , ucblarining koordinatalari esa A ,( ~ 5; 0), A p - 0), Bx(0 ; - 3 ) , i?2(0; 3).
N ih o y a t,c =yja2 —b2 - yj 52 —32 = 4 b o ‘lganligi u c h u n fokuslari ^ ( —4; 0), F2(4; 2) nuqtalarda joylashgan ekan. Ellipsning
ekssentrisiteti esa e = 4 / 5 = 0 , 8 .
Ellipsni yasash uchun to ‘g‘ri burchakli dekart koordinata- lari sistemasida ellipsning uchlarini aniqlaymiz va bu nuqtalar orqah silliq egri chiziq yordamida ellipsning shaklini yasaymiz (2 2 -rasm). ^