Ixtisoslikdagi

Mustaqil bajarish uchun mashqlar
3.1. Bir jinsli sistemaning umumiy yechimini va fundamental yechimlar sistemasini toping:
^{. [jq + 2xz - x3 = 0,} jjq - 2xz - 3xj = 0 ,
^ { 2 ^ 2 + 9xz - 3x 3 = 0. ^ {-2 ^ + 4x 2+ 6 x3 = 0.


_{3x! + 2x 2 + x 3 = 0,} 2x^ - 3x 2 + 4x 3 = 0,
₃₎ 2Xj + 5xz + 3Xj = 0, 4 ) ^{Xj + Xj + x3 = 0 ,}
_{3Xj + 4 x 2 + 2x 3 = 0.} 3Xj - 2x 2 + 2x 3 = 0.


Xj + 2^2 + 4Xj - 3x 4 = 0, 3Xj + 5x 2 + 6X3 - 4x 4 = 0,
5)
4Xj + 5x 2 - 2x 3 + 3x 4 = 0,
3xj + 8x 2 + 24x 3 - 19x 4 = 0,
71

www.ziyouz.com kutubxonasi

2Xj - 4x 2 + 5x 3 + 3x 4 = 0,
_{6 )} • 3x, - 6x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 0,
4xl - 8 x 1 + 17x 3 + 1lx 4 = 0
3.2. a parametming sistema notrivial yechimlarga ega bo‘ladigan qiymatlarini va bu yechimlami toping:


2Xj + x 2 + 3x 3 = 0,
• 4Xj - x 2 + 7x 3 = 0,
Xj + ax^ + 2 x 3 = 0.

3.3. Bir jinshmas sistemani yechimining mos bir jinsli sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan foydalanib toping:

2x, + Xj - x3- x4 + x5 = 1, Xj - x2 + x3 + x4 - 2x5 = 0,
^{1 )} 3x, + 3x^ - 3Xj - 3 x 4 + 4x 5 = 2,
4Xj + 5^2 - 5x 3 - 5x 4+ 7 x 5= 3.

X, - Xj + X, - x 4 + x5 - x 6 = 1,

²⁾ 2Xj - 2 x 2 + 2 x 3+ x 4 - x 5 + x 6 = 1.


x^ + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + 5xs = 0,
₃₎ ■ Xj - 2x 2 - 3x 3 - 4 x 4 - 5x 5 = 2,
2x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + 5x 5 = - 1 .


Mustaqil bajarish uchun berilgan mashqlarning javoblari


1- §. 1.1. 1) (1; 4; - 7 , 7); 2) (4; 6; -35; -1 ). 3) (70; 40; -20; -16). 1.2. 1) (-1/2;
1; 3; 3). 2) -17 ; -13 ; 41, 5). 3) (—8/5; —7/3; -16 /3 ; -11 /3 ). 1.3. 1) chiziqli erkli.
2) chiziqli bog'liq. 3) chiziqli erkli. 1.5. 1) chiziqli erkli. 1.6. 3. 1.7. 1) k = 15. 2) k * 12. 1.8. r = 3; (a2; «4). 2.1. 1) (1 +V 3 c,, 1 + cp c,)T . 2) sistema birgalikda emas.
72

www.ziyouz.com kutubxonasi

2- §. 2.1. 1) ( l + -n/3q; cxJ .2 ) sistema biigalikda emas. 3) (—1+2e\; 1 + c,; ct)'.
4) (- 1 ; 3; - 2 ; 2)T. 5) ( | ~ Y C l + ? Cj’ I + « i» ^) T - 6) sistema


birgalikda em as. 7) (cp —13 + 3cp —7, 0)T. 8) ( ~ y + y cu y + y ci>

9) sistema birgalikda emas. 10) sistema birgalikda. r( A) — r (AJ = 2. x = 1; y = y . 2.2. 1 ) 1 * 0 da sistema birgalikda emas; 1 = 0 bo'lsa,

x J - L J - a - — 4 , - - —A9 ----- 4 , A, 2) (1 — 1)(1 + 3) * 0 da
l 2 2 2 2 2 2 J

1 1 1 ; Y 1 = lda X = (1 - Cj— c2- c3, cv cv c 3)t ; 1 = - 3 da sistema birgalikda emas.

3- §. 3.1. 1) cxEx, E = (3, 1, 5)T. 2) cxEx+ cJEv E = (2, 1, 0)T, E, = (3, 0, 1)T.

3) sistema faqat trivial yechimga ega. 4) cxEv E = (4, 1, —5)T. 5) c1£’ + c2E2, E = (8, - 6 , 1, 0)T, E2= ( - 7 , 5, 0, 1)T. 6) cxEx+c 2E2, E = ( 1, 0, - | , y ) T,

j^ = ( 0 , 1, 5, —7)T. 3.2. a = —l, X = cxEv E = ( - f j - 1) • 3.3. 1) % + C& +
c2E2+ c , E, X0= ( j , y, 0, 0, 0 ) , £=(0, 1, 1, 0, 0)T, E = (0, 1, 0, 1, 0)T, E 3 = ( j , 0, 0, \ j . 2 ) X Q+ c x E x + c 2 E 2 + c } E 3 + c 4 E 4 , Zo= (r- 0 - )T 1, 0, 0, 0, 0)T, E = (- 1 , 0, 1, 0, 0, 0)T,
£ , = (0, 0, 0, 1, 1, 0)T, E = (0, 0, 0, - 1 , 0, 1)T 3) XQ+ c xEx+ c 2E2+ c 3E3,


x = \ i, 0, 0, o" , £ = ( 0, - | , 1, 0, 0)T, £ = ( 0, - 2, 0, 1, 0)T,
e 3=| o , - - , o, o, i


73


V

www.ziyouz.com kutubxonasi

IV b o b . TEKISLIKDA ANALITIK GEOM ETRIYA
1- §. Tekislikda koordinatalar metodi

Agar tekislikda: \

1 ) har birida musbat yo‘nalish tanlab olingan ikkita o‘zaro perpendikular to ‘g‘ri chiziq, ya’ni koordinata o'qlari ko'rsatilgan bo‘lsa (o‘qlardan birinchisi abssissalar o ‘qi, ikkinchisi ordinatalar o‘qi, o‘qlaming kesishgan nuqtasi O(0 ;0 ) koordinatalar boshi deyiladi);
2 ) uzunliklami oTchash uchun chiziqh birlik ko‘rsatilgan boTsa, u holda tekislikda to‘g ‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi berilgan deyiladi.
Tekislikning ixtiyoriy nuqtasi M ning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari deb x v a y sonlaming tartiblangan (x; y) juftiga aytiladi, bu yerda x — shu M nuqtaning abssissalar o‘qiga proyeksiyasining koordinatasi, y esa ordinatalar o‘qiga proyeksiyasining koordinatasi. M nuqta koordinatalari bilan bitga M(x; y) ko‘rinishda yoziladi.
1°. Ikkita nuqta orasidagi masofa. Tekislikda ikkita A(xv y j va
B(xv y2) nuqta orasidagi masofa


d = |v4B| = V(x2 - x , ) 2 + (y2 - y \ f

formula bilan hisoblanadi.

1- misol, A(-2; 4) va B(2; 1) nuqtalar orasidagi masofani toping.
► \AB\ = ^(2 + 2 ) 2 + (1 - 4f = Vl6 + 9 = >/25 = 5. 4 ,
2°. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish. Tekishkda uchlari A(xv y() va B(xv y,) nuqtalarda bo‘lgan AB kesmani ^AN = A nisbatda bo ‘luvchi N(x; y) nuqtaning koordinatalari ^
xt \X x
“1 +1 “ y^{V =} 1+A^{^ (1 )}
14

www.ziyouz.com kutubxonasi

formulalar bo'yicha topiladi. Agar N nuqta AB kesmani teng ikkiga bo‘Isa, 2 = 1 bo‘lib, (1) formulalar
x = ^ L , y = (2 )
ko‘rinishda bodadi. (2 ) — kesmaning o ‘rtasini topish formulalari
ham deyiladi.
2- misol. A( 1; 4) va B(4; - 1 4 ) nuqtalar bilan chegaralangan kesma C(xc, yc) va D( x d, y D) nuqtalar orqali uchta teng bodakka
bo‘lingan. C va D nuqtalaming koordinatalarini toping.
^ C nuqta AB kesmani A = \ nisbatda bo'ladi. Binobarin, ( 1 ) formulaga ko‘ra:


_{4 -4 2, y c =} 4+—•(—14) _{= -2 .
i+i} - A ~ l
l+
Shunday qilib, C(2; —2).
D nuqta AB kesmani A = ~ \ = 2 nisbatda bo‘ladi. Bu yerdan
DB 1

1+2-4 _ , „ _ 4+2-(—14) _

1+2 ’ y ° 1+2

Demak, D (3; —8 ).

3°. Uchburchak va ko‘pburchakning yuzi. Uchlari A(x3; y^), B( x 2; y2), C(x3; y3), ..., F(xn; y ) nuqtalarda bo'lgan ko‘pburchak- ning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:


₊ % U _{+ . . +} ^{x „ y n}
3 ^ 2 *3 U ⁽³⁾
Xususiy holda, (3) formuladan uchlari A(xv y^), B(x2, y2) va C(x3; y3) nuqtalarda bo'lgan uchburchak yuzini hisoblash formulasini yozish mumkin:
^{, i x ly 1} x 2y 2 ^{X ^ 3}
5 AABC — — ~2 X ^{+ +} _{X ( 4)}
^{2 x 3y 3 1} _
Bu yerda ishora yuzning musbat ekaniga qarab tanlanadi.
75