|
2- §. Istalgan chiziqli tenglamalar sistemasi
n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi
+ « + ... + o,,x„ = bv
a^iXj + + ... + 02nx„ =
( 1)
+ w + - + v * = K
berilgan bo‘lsin. Quyidagi matritsalarni kiritamiz:
X 0[2 C h n ' pO ( b\ )
A = ° 2 \ °22 ‘h n , x = , B = b 2
Ka m\ °m 2 a mn \ X”n) X /
(°n 0 , A
A = °22
\^am\ m2 a
A — sistema matritsasi, A sistemaning kengaytirilgan matritsasi deyiladi.
( 1 ) sistemani matritsaviy ko‘rinishda
A X = B
kabi yozish mumkin. (2)
60
Agar B —0 bo‘lsa, sistema bir jinsli, aks holda hir jinslimas deyiladi. Kamida bitta yechimga ega sistema birgalikdagi sistema, ycchimga ega bo‘lmagan sistema esa birgalikda bojmagan sistema deb ataladi. Bir xil yechimlar to ‘plamiga ega bo‘lgan sistemalar o‘zaro ekvivalent deyiladi.
Kroneker — Kapelli teoremasi. (1) sistemaning birgalikda bo‘lishi uchun sistema matritsasining rangi kengaytirilgan matritsaning rangiga teng bo‘lishi, y’ani
r{A) = r( A) (3)
bolishi zarur va yetarlidir.
Sistemaning yechimini quyidagi tartibda topish mumkin: r( A) = r( A) = r deylik, r < m in (m , n ). Bazis minor matritsa- ning dastlabki r ta satr va ustunlarida joylashgan desa bo‘ladi (aks holda elemantar almashtirishlar yordamida shu shaklga keltirish mumkin). ( 1) sistemaning dastlabki r ta tenglamasini qoldirib, qisqartirilgan sistema yozamiz:
A1X1+ . • + r + r , l + ■• + n = h, w + . • + r + ^ +l*r+l + •- + n —b,,
anx, + . . + a„xr + (V+l ^ +l + - • + n = br-
Ihi ( 1 ) sistemaga ekvivalentdir. xi, x2, x3, —, xr lam i bazis nomalumlar, qolgan xrrl,..., xn lami ozod noma’lumlar deb olib, bazis noma'lumlarga nisbatan sistema hosil qilamiz:
a n x i + . • + X r = b , ~ a u X r +l " n , a 21X \ + . ' + O i r X r = b 2 - a 2r - x r + 1 ~ . ■■- Chn X n
a r l X l + . .. + a n x r = b r - a „ 1 X 1
■+ ■~ a m X n-
»»
Bu sistemaning determinanti noldan farqli (chunki bazis minor), sislema yagona yechimga ega va bu yechimni, masalan, Kramer usuli bilan topish mumkin. Ozod nomadumlaming har bir
61
www.ziyouz.com kutubxonasi
-*> +l C2 ’ X n Cn- r
qiymatlari to ‘plami uchun ( 1) sistemaning yechimini
c(ci; c2; ...; c„.r )
X (c,; c2; cn_r) X r i C 1» C 2> ■■■> C n - r )
C,
n -r
T
— ( X i ( C j , c2, . . . , Cn_r), . . . , cn r)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu (1) sistemaning umumiy yechimi
deyiladi.
1- misol. Sistemaning birgalikdaligini tekshiring va birgalikda bo‘lsa, uning umumiy yechimini toping:
'2 x - y + z = - 2 ,
■ x + 2y + 3z = - h x - 3 y - 2 z = 3 .
► Sistema asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglarini topamiz: +
(2 - 1 1 ' f 0 - 1 0 N
A = 1 2 3 ~ 5 2 5
1 -3 - 2 5 - 3 _ 5
2 \ 2
f 0 - 1 0 f 0 - 1 1
- 1 2 0 ~ 1 2 >
- 1 -3 0 - 1 -3
r ( A) = 2;
62
www.ziyouz.com kutubxonasi
(2 - 1 1 - 2 N r2 0 1 0 "
A = 1 2 3 - 1 - 1 5 3 0
l1 - 3 - 2 3 V1 -5 - 2 4J
( 0 0 1 n 0 0 "
° 1
~ 5 3 0 - 3 1 0 5
\ 5 -5 - 2 47 7- 2 - 1 4 y
r { A ) ± r {A) . Sistema birgalikda emas. ^
2- misol. Sistemaning birgalikdaligini tekshiring va birgalikda bo'lsa, umumiy yechimini toping:
’2Xj + 7x2 + 3x 3 + x 4 = 6 ,
■ 3Xj + x5 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4,
9xx+ 4x 2 + x 3 + 7x 4 = 2.
'2 7 3 0 ' 0 0 0 1 ^
► ^ = 3 5 2 2 ~ -1 -9 -4 2
4 1 7 -45 -20 7
l 9 l - 5 /
' 0 0 0 l') ' 0 1 >
1 1 1 2 ~ 1 2
7 1 ) V. 7 J
T 5 5 5
/
'
II 2 .
^
r (A) ~ r (a ) ~ r - 2 , sistema birgalikda. Bazis minor deb ^ ^
ni olsak, x,, x2 — bazis nomalumlar; x 3, x 4 — ozod noma’lumlar bo‘lib, qisqartirilgan sistema
[2xj + 7x 2 = 6 - 3x 3 - x 4,
[3Xj + 5x2 = 4 - 2x 3- 2 x 4
63
www.ziyouz.com kutubxonasi
bo‘ladi. x3 = c,, x4 = c2 desak, bazis nom alunilarga nisbatan bu sistemaning yechimi:
x, 2 - + f L - 10 __ 5cj c2
11 11 11 ’ x2 11 1T + TI'
Sistemaning umumiy yechimi:
f I + °L- 9c2 )
II 11 11
10 _ 5cj o,
X (cj, c2) — TT TT TT ,
< c2 J
yoki X (c 3; c2) = (--jy + ^ 9c2 . 10 5c, + -!■ 5
11 ’ TT II 11 ’
Mustaqil bajarish uchun tnashqlar --—------
2.1. Sistemaning birgalikdaiigini tekshiring va umumiy yechimini toping:
\x - -J3y = i, |V 5x- 5 y=>/5 ,
[V3x - 3 y = a/3; | x - y/5y = 5 ;
3x - 2y - 5z + t = 3,
x + 2y - 4z = 1, 2x - 3y + z + 5/ = -3,
3) - 2 x + y - 5z = - 1, 4) x + 2y - 4/ = -3,
x - y - z = - 2 ; x - y - 4 z. + 9/ = 22;
2x, + x2 - x3 - 3x 4 = 2,
4x, + x, - 7x 4 = 3, 3x, - 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2,
5) 2x 2 - 3x 3 + x4 = 1, 6 ) 7x, - 4x, + x, + 3 x 4 = 5,
2Xj + 3x 2 - 4x , 2x 4 = 3; 5x, + 7 x 2 - 4x 3 - 6 x 4 = 3;
M
9x3 - 3x2 + 5x 3+ 6x 4= 4,
Do'stlaringiz bilan baham: |
