Ixtisoslikdagi

3- §. Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi
a vektoming b vektorga vektor ko ‘paytmasi deb quyidagicha uniqlanuvchi c vektoiga aytiladi:
1) c ning moduli (uzunligi) son qiymati bo‘yicha a va b ga yusalgan parallelogrammning yuziga teng;
45


12- rasm.
2 ) c 1 5, c 1 b;
3) a , b va c o‘ng boglamni tashkil qiladi, ya’ni c ning uchidan qaralganda 5 dan b ga qarab eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘ladi. Agar bu eng qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishida bo'lsa a , b , c lar chap bog‘lamni tashkil
^{qiladi deyiladi. Yektor ko‘paytma axb yoki a, b} kabi
belgilanadi. Vektor ko'paytma quyidagi xossalarga ega:
1. a x b = -b x a;
2 ax( b + c^J= a x b + axc;
3 . 5 x 5 = 0 ;
4. 5 || 6 => 5 x 5 = 0.
Ortlarning vektor ko'paytmalari:
i x i =j x j = k x k = 0 ;
i x j = k; j x k = i; j x i = - k; i c x j = -[, icxi =],
i x ic = - j .

5 = aj + a^j + n,k va h b^i + b j + b j vcklorlarning vektor ko‘paytmasi

i ₇ k a x b = ax _«2
b. _h
loi mula bilan hisoblanadi.
ci va b vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuzi:
Sp = \ axb\,
uehburchakning yuzi:
^ = i |d x A lormulalar bilan hisoblanadi.
A nuqtaga qo'yilgan F kuchning O nuqtaga nisbatan M
momenti M = F x a o , yoki M = OA x F formula bilan hisob- lnnadi:
M = O A x F =~F xOA = F x AO.

1- misol. a = 3/ - 2 j + k va b = 4/ + 5j - k vektorlaming vektor ko‘paytmasini toping.

i j ^k
► a xb 3 -2 1 = 2i + 4 j + 15k + &k - 5i + 3 j =
4 5 - 1
= -3 / + 7 ; +23 k.
a x b = -3i' + 7 j + 23k. M
2- misol. Uchlari A(2; 1; 0), B(l; 3; 4) va C(3; ~2; 1) nuqtalarda bo'lgan uchburchakning yuzini toping.
ABC uchburchakni 5 = AB, b = AC vektorlarga yasalgan uehburchak deb qarasak, uning yuzini
^ABC ~


47


formula bilan topish mumkin. Unda A B {—1; 2; 4}, A C {1; —3; 1}.
i j k
^{A B x A C =} - 1 2 4 —2/ + 4 j + 3k —2k + 12/ + j —
1 - 3 1
= 14/ + 5 j + k.
_JABC I4i + 5 j + k = 1 ^ 196 + 25 + 1 = ^■m kv. birl.
SABC = 1 V222 kv. birl.
—* I
3-misol. A(3; —2; 1 ) nuqtaga qo'yhgan F = i + 2 j - 3 k
kuchning 0(2; —1 ; 0 ) nuqtaga nisbatan momentini toping.

► Kuch momentini hisoblash formulasiga ko‘ra: M = O A x F .

Masala shartiga ko‘ra
QA = ( 3 - 2 ) i + ( - 2 + l ) ] + ( l - 0 ) k = I - ] + k; F - i + 2] - k


bo‘lganidan
-+ ___ -y ^{/ j ik}
M = O A x F = 1 - 1 1
1 2 -3
= 3/ + j + 2k + k - 2/ + 3 j = / + 4y + 3k; M - i + 4 / + 3&. ^
Mustaqil bajarish uchun mashqlar
3.1. a = 2/ + 3 j 1 4k va b = - / +j - k vcktorlarning vektor ko‘paytmasini toping.
3.2. Uchlari A( I; I; I), /1(2 ; 3; 4) va C(4; 3; 2) nuqtalarda bo'lgan uchburchakning yu/ini (oping.
3.3. Uchlari /1(1; - 1 ; 2). /1(5; —6 ; 2) va C(l; 3; - 1 ) nuqtalarda bo'lgan uchburchakning Bl) bnlandligini loping.
3.4. Ifodani soddalashliring:
4K

www.ziyouz.com kutubxonasi

1 ) i x (j + k j - j x( i + k ) + k x (i + 7' + );


2) (a + b + c + (a + £ + c jx £ + - c jx 5; 3) ^25 + 6 )x |c - bj + (b + c^x (a + b^;
4) 2i •[j x k j + 3j ■ (ix k j + 4k ■ (ix j ).
3 .5 . - b j x (a + b j = 2 • (a x b j ayniyatni isbotlang va uning geometrik mazmunini tushuntiring.
/ A_ \
_3.6. ^{\aj\ = \, 1^1 = 2 ,} bo‘lsa, b = ( ^ + 3 0 j) x V /
x (3 ^ - a2) vektoming modulini toping.
r a _\
3.7. ^{|5 l= \b =5, 5, 6 = 7 bo‘lsa, c - a - 2b va d = 33 + 2b}
\ /
vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuzini toping.
3 .8 . a = i + j + 2 k \ a b =2i +j +k vektorlarga perpendikular birlik vektomi toping.
3 .9 . a + b + c = Obo‘lsa, a x b = b x c = c x a bo‘lishini isbotlang va uning geometrik ma’nosini tushuntiring.
3 .10 .5 { 3 ; -1; 2}va 5(1; 2; -1} vektorlar berilgan. c =
= ^25 +b^jxb va d = (2a - b j x (23 + b^j vektorlami toping.
3.11. 5,{4; -2 ;-3 } va ^{0; 1; 3} vektorlarga perpendikular bo‘lgan x vektor j ort bilan musbat burchak tashkil qiladi va |x| = 26. Shu x vektoming koordinatalarini toping.
3.12. A(4; - 2 ; 3) nuqtaga qo‘yilgan F = 2i - 4 j + 5k kuehning
0(3; 2 ; —1 ) nuqtaga nisbatan momentini toping.
3.13. Fi{2; - 1 ; - 3 } , Fi {3; 2; -1 } va ^ 3 {-4 ; 1; 3} kuchlar
A(—1; 4; 2) nuqtaga qo‘yilgan. Shu kuchlar teng ta ’sir etuvchisining 0(2; 3; - 1 ) nuqtaga nisbatan momentining miqdori va yo‘naltiruvchi kosinuslarini toping.
4 <'ln/i<|!i algebra va analitik geometnyadan 49
imtMilalar yechish



3 .14 .5 = k - j va b = i + j + k vektorlarga yasalgan parallelo- grammning yuzini toping.
3.15. A( 1; —2; 8 ), B(0; 0; 4) va C(6 ; 2; 0) nuqtalar berilgan. AB
—>
va AC vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuzini va B
uchidan tushirilgan balandligini toping.


4- §. Uch vektorning aralash ko‘paytmasi

Ikki a va b vektor vektor ko‘paytmasining uchinchi vektorga skalar ko‘paytmasi uch vektoming aralash ko‘paytmasi deyiladi. Aralash ko‘paytma abc = { axb}- c kabi belgilanadi. Aralash ko‘paytma quyidagi xossalaiga ega:

1. (a x b) ■ c= -(a xc)- b = -(c xb) ■ a.
2. Aralash ko‘paytmaning istalgan ikkita ko‘paytuchisi kollinear bo‘lsa, aralash ko‘paytma nolga teng.
3. Skalar va vektor ko'paytirish belgilarining o‘rinlari almash- tirilsa, aralash ko'paytma o‘zgarmaydi:
abc = a ■ (b xc) = ( axb) ■ c.
4. a, b, c lar komplanar bo'lsa, abc = 0 bo‘ladi. Bu
vektoming komplanarlak sharti ham deyiladi. Noldan farqli vektorlar
uchun abc = 0 bo‘lsa, bu vektorlar komplanar bo‘lib, ulardan birini qolganlari orqali ifodalash mumkin.
Agar a,b va c vektorlar koordinatalari bilan berilgan, ya’ni:


a = a j + a j + a}k, b =bj + b2j + b2k, c =c j + c2j + c2k
bo‘lsa, aralash ko‘paytma quidagicha hisoblanadi:
o, Oj a3
cibc = b\ b2 b2
C, c 2 C3


50


13 - rasm.

Bir tekislikda yotmagan uchta a, b va c vektorlarga qurilgan purallelepipcd va piramidaning hajmlari (13-rasm)

Vp!1T= ± abc; Vpn = ±~abc

lormulalar bilan topiladi, bu yerda a , b , c vektorlar o‘ng bogdamni tashkil etsa, «+» ishora, aks holda «—» ishora olinadi.

1- misol. a = 3/ + 4 j , b = - 3 / + k, c = 2j + 5k vektorlarga
ynsalgan parallelepipedning hajmini toping. (5, b, c ) uchlik o‘ng boglamni hosil qiladimi yoki chap bog‘lamnimi, aniqlang.
3 4 0
► abc = 0 -3 1 ^{= - 4 5 - 6 = -51; abc = -51.}
0 2 5
ni)c <0 , demak, a, b, c uchlik chap bog‘lamni tashkil etadi. Unda

Fpar =±abc = -(-5 1 ) = 51; Vp3I = 51 kub birl. M

2- nrisol. Uchlari A(l; 1; 1), 5(2; 0; 2), C(2; 2; 2) va D(3; 4; - 3 )
miqtalarda bo‘lgan tetraedming hajmini va h — DE balandligini toping.
^ Qaralayotgan tetraedmi uning bitta, masalan, A uchidan chiquvchi uchta a =AB, b = A C , c = AD vektordan hosil holgan piramida deyish mumkin.
51



a = A B { 1; - 1; 1}, 6 = 4 C {1; 1; 1}, c = AD {2; 3 ; - 4 } ;