Ixtisoslikdagi

'3 5 ₇₁ (4 8 ^{12' (1 2 3'}
1 2 ^{3 —} 1 2 ³¹ 2 ³
1 3 5 _{7 l 1} 3 _{5 J} ¹ 3 ⁵
V V ^{/
(0 0} f l 2 ^{3 '}
1 2 3 _{1 3
1 3 5 7} V V
V
Bu yerda quyidagi elementar almashtirishlami bajardik: birinchi sal r clementlariga uchinchi satr elementlarini qo‘shdik; birinchi salrning hosil bo‘lgan elementlarini 4 ga bo‘ldik; birinchi satrga ikkiuchi satr elementlaiini - 1 ga ko‘paytirib qo'shdik; hosil bo‘lgan uollardan iborat birinchi satmi o‘chirdik. Oxiigi matritsaning rangi,
demak, berilgan matritsaning ham rangi 2 ga teng, chunki,
^{masalan, 1 2} = 3 - 2 = 1 * 0.
1 3

Oolgan bazis minorlar:

27



3 - misol. Matritsaning rangini toping:
f 1 2 ^{1 3 4^}
A = ^{3 4 2 6 8}
1 2 1 3 4
V ^J
Berilgam matritsada ketma-ket elementar almashtirishlar bajaramiz:


n ^{2 1 3} _{4 1} ^{r i 2 1} 3 4 '
4 2 6 8 ^~ 3 4 2 6 8 ^~
i 2 1 3 ⁴₂ 0 0 0 0 0
V 2
^A 2 ^{1 3} \ " _{' i 2 1 3 n}
^{1 0 0 0 0 l} 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ^{V. 2}
v y

K o‘rinib turibdiki, r(A) = 2, chunki ² _{* 0 . ◄}

1 0
4- misol. Matritsaning rangini va bazis minorlarini toping:
_{' 0 2} _4 8
-1 -4 5
3 1 ⁷
0 5 -10
l 2 ³ 0J
► Kctma-ket elementar almashtirishlar bajarib, quyidagilami olamiz:
' 0 2 -4 1 ^{'i 4} _-51 '1 ⁴ 5 s
-1 -4 5 2 ³ 0 0 -5 10
³ 1 7 ^{— 3} 1 ^{7 ~ 0} -11 22
⁰ 5 ^{-10 0 5} -10 ⁰ 5 10
V ² 3 ⁰ _{y k}^{0 2 -4} / ⁰ 2 -4 _/


28


(\ 4 ^{(l 0 (n} 0 1 -2 0 1 0
0 1 -2 ^~ 0 0 ⁰
0 1 -2 ⁰ 0 ⁰
0 1 _~2J 0 0
V °;
Oxirgi matritsaning rangi, demak, berilgan matritsaning ham
rangi ikkiga teng: r (A) = 2.
1 0
Bazis minor bitta:
• ◄
0 1


Mustaqil bajarish uchun mashqlar
4.1. Matritsaning rangini aniqlang va bazis minorlarini toping:
'1 ^{0 0 0} _51
1) A = 0 0 0 ^{0 0
V} n J
2 0 ⁰ 0
' l ^{0 2 0 (T}
₂₎ A = 0 1 0 ^{2 0}
2 0 4 ^{0 0}
V V
4.2. Matritsaning rangini aniqlang:
^"2 -1 ³ -2 ^{4 ' "1 2 3 6S}
i) ^{4 -2 5 1 7} _{5 2)} ^{2 3 1 6} 5
2 -1 1 8 ^{2 3 1 2 6
V} 9 9
"25 31 17 4 3 N
^{(\ 3 5 7 9 >} 75 94 53 132
^{3) 1 -2 3 -4 5 ;} 75 94 54 134
² 11 ^{12 25 22} _{[25 32 20 48J}
V ₎
"47 -67 35 ^{201 155N '3 1 1 4}
5) ^{26 98 23 -294 86} _{’ 6)} ^{0 4 10 1
16} -428 1 1284 ^{52 1 7 17 3
V J} _^2 ² 4 ³
29

www.ziyouz.com kutubxonasi

Mustaqil bajarish uchun berilgan mashqlarning javoblari
1- §. 1.1. 1) 18. 2) 4ab. 3) 1. 4) 2. 5) cos(a +/9). 6) x2+ 12x. 1.2. 1) 2. 2) - 1 ,7 .
3) n e Z . 4) ^ + nn, ne Z. 5) 1; 3. 6) - 5 ; 5. 1 .3 . 1) 0. 2) 0.
3) abc + {ab + bc + ac)x. 4) a 2 + /32 + y 2 + 1. 5) (x2—x)2. 1 .4 . 1) 2; —6,5.
2) - 1 ; - 5 . 3) x S R . 1 .5 . 1) x > 4. 2) - 6 < x < - 4 . 1 .7 . 1) 0. 2) 48. 3) 223.
4 ) ( be — c d ) 2. 5) (b + c + d)( b + c —d). 1 . 8 . 1) «!. 2 ) 2 « + l .
1 . 9 . 1) ~a^ - an ( ^ +~ + - + - )■ 2) n + l.


2 - §. 2 .1 . 1) (3; 2). 2) (- 4 ; 3). 3) (- 6 ; ~ j a ) . 4) (-1 ,5 ; -0 ,5 ). 5) 0 . 6) cheksiz
ko‘p yechimga ega. 2.2. 1) (1; 3; 5). 2) (2; - 1 ; 1). 3) 0 . 4) (3; 1; -1 ). 5) (2; - 1 ;
1). 6) (1; - 1 ; 2; -2 ). 7) (2; 0; 0; 0).


^{' 2 i i r '5} 2 ^ "29 - 6 '
^{3 - § . 3 . 1 . 1)} _{8 3 - 1 1} ^{‘ 2) AB =A4 =} ; det(y4jff) = 70;
^V) l 15 ^{20 J} l 31 - 4 J
"10 6 5 \
^{f 0 Q\} O')
det(A4) = 70. 3 .2 . 1) _{2) • 3)} ^{8 11 6
0 0 3} 9 8 10
"5 'j ₍ ^{V /
f 6 1} 2+C\Xy
_{5 15} f 6 ^
_{4) • 5 ) ( 1 2 ) . 6 ) - 7)} 7 _{■ 8)} a2x t + b2x 2+c2x}
^{- 2 25 1} + 6,x 2+c ,x ,
l 1 J ^V
c 3 y ^{, 3 5 y
9) "/T nA"-1' . 3.3.1) "12 3 '} . 2)( ^{3.4. l ) x = 1; y = 1; z = 1.}
_V0_J A" _V 2 11_{/ \}
2) x= 3; y = 2; z = 1.


1 5
^{4 - § . 4 .1 .} 1) /•(/!) = 2; bazis m inor: _{2 II} ■2) r (/1) = 2; bazis
_minorlar: 1 0 ^{1 0 0 2 2 0} 0 l ⁰ 2
0 1 ^{1 0 2 ’ 1 0 ’ 0 2 2 0 * 1 °l*} 4 0
0 41


4 .2 . 1) 2. 2) 3. 3) 2. 4) 3. 5) 2. 6) 2.
30

www.ziyouz.com kutubxonasi

II b ob . VEKTORLAR ALGEBRASI
I- §. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar. Vektorning fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalari


1°. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar. Fan va texnikada iii'liiaydigan miqdorlami (kattaliklami), asosan, ikki turga ajratish mmnkin: skalar va vektor miqdorlar. Skalar miqdor o‘z son qiymati bilnu lo‘la aniqlanadi. Vektor miqdor esa kattaligi(moduli)dan lnshqari yo‘nalishi bilan ham aniqlanadi. Masalan, uzunlik, yuz, linjm, zichlik, massa, temperatura va h.k.lar skalar miqdorlar; livlik, tezlanish, kuch, kuch momenti, elektr (magnit) maydon kuchlanganligi kabi miqdorlar esa vektor miqdorlardir. Vektor miqdorlarni o‘rganish uchun vektorlardan foydalaniladi.
Vcktor (aniqrog‘i geometrik vektor) deb yo‘nalgan kesmaga nyliladi. Vektor boshi va oxirini ko‘rsatgan holda yoki bitta harf bllim belgilanadi. Masalan, AB yoki a vektor (2- rasm). Bunda A nuqla vektoming boshi, B nuqta esa oxiri deyiladi. AB =a vrklorning uzunhgi uning moduli (yoki absolut qiymati) deyilib, AB = a = |5|kabi belgilanadi. Boshi va oxiri ustma-ust ItiNliuvchi vektor nol vektor deyilib, 0 kabi belgilanadi. Uning moduli nolgateng, yo‘nalishi aniqlanmagan. AB va BA o‘zaro
qmama-qarshi vektorlar deyiladi:


BA = - AB, AB +BA= 0.

Bir to‘g‘ri chiziqda yoki o‘zaro parallel to ‘g‘ri chiziqlarda Voluvchi vektorlar kollinear vektorlar deyilib,uva b ning kolllnrarligi a || b kabi ko‘rsatiladi. Nol vektor har qanday vektoiga kolllnrar deb hisoblanadi. Kollinear vektorlar bir xil yoki qarama- quoihi yo‘nalgan bo‘Ushi mumkin.

31

www.ziyouz.com kutubxonasi

2-msrn. 3- rasm. 4- rasm.


a va b vektorlar teng modulga ega, kollinear va bir xil yo‘nalgan bo‘lsa, ular o‘zaro teng vektorlar deyilib,a —b kabi yoziladi. Bu ta’rifdan vektomi fazoda (tekislikda) o‘z-o‘ziga parallel ko‘chirish mumkin ekanligi kelib chiqadi.
Bitta tekislikda yoki o‘zaro parallel tekisliklarda yotuvchi
vektorlar komplanar vektorlar deyiladi. 0 ‘z-o‘ziga parallel ko‘chirib, kollinear vektorlami bitta to ‘g ‘ri chiziqqa, komplanar vektorlami bitta tekislakka joylashtirish mumkin. Shuning uchun iJkki vektorga parallelogramm yoki uchburchak qurish uchun ular kollinear bo‘lmasligi, uch vektorga parallelepiped yoki piramida qurish uchun ular komplanar bo'lmasligi kerak.
Vektorlami qo‘shish, ayirish va songa ko'paytirish amallari vektorlar ustida chiziqli amallar deyiladi. Vektorlami qo‘shish uchun parallelogramm qoidasi (3- rasm) yoki uchburchak qoidasidan (4- rasm) foydalaniladi. Keyingi usul yordamida ikkitadan ko‘p vektorlami ham qo‘shish mumkin, bu holda qo‘shish usuli ko‘pburchaklar qoidasi ham deyiladi (4- rasm). Vcktorlami qo‘shish quyidagi xossalarga ega:
1. a + 0 = a. 2. a + b = b +a.
3. a + (b + c) = (a + b) + c. 4. a + (- a) 0.
Kuchlami ifodalovchi vektorlarning yig'indisi sliu kuchlaming teng ta'sir etuvchisidan iborat vcktorga teng.
d vektordan b vektoming ayirmasi dcb, h vcktor bilan yig‘indisi a vektomi bcradigan c = a - b veklorga nylilndi ( 3 - rasm); c +b =a ' c vcklor kamayuvchi d vcktor tomonga qarab yo‘nalgan
bo‘lishini unutmaslik kerak.
32
www.ziyouz.com kutubxonasi

a vektomingA songa ko‘paytmasi deb moduli \X\ \a\ ga teng,
vo'nalishi esa X > 0 bo‘lsa, a bilan bit xil, X < 0 bo£lganida a ga i|arama-qarsbi bo'lgan vektorga aytiladi. Bektomi songa ko'paytirish amali quyidagi xossalarga ega:

1 . a •0 = 0 ■a = 0 .

2. X{a + b) - Xa + Xb.
3. (/1^ + X^)a = \ a + X^b.
4. Aj(X^a) = X^iX^a).
Moduli (uzunligi) 1 ga teng vektor birlik vektor deyiladi. a vektor bo'ylab yo‘nalgan birlik vektor, ko'pincha, •0 (i
a r-r munosabatdan topiladi.
Pf _
Agar b vektoming Ox o‘qi bilan tashkil etgan burchagi

ho'lsa, uning bu o‘qqa proeksiyasi: p r^ b ~pJ-cos
formula bilan lopiladi (41-bet, 10-rasmga q.).
Quyidagi xossa o‘rinli: p r ^ u + £ ) = pr0x a + p r^ b .
1-misol. ABCD parallelogrammda AB = n, AD =b deb bclgilangan. M nuqta parallelogramm diagonallarining kesishish
Mtjqlasi. MA, MB, MC, MD lami nva b orqali ifodalang. Vektorlar yig'indisi va ayirmasi ta’rifiga asosan 5- rasmdan:


AB = DC =a, AD =BC = b,
AC = AB + BC = a + b , DB = a - b ,


M A = - ^ A C = - ^ { AB+BC) = - l ( A B +W ) = - ^ { a + b); MB =\ ~DB = \ { a - b ) ; M C = l- A C = \ { a+ b ) ;
MD = ^ B D = - ~ D B = - ~{ a - b) = ~(b - a). ◄
t < lii/M|f( a/gebra va analitik geometriyadan ₃₃
........ . yechish

www.ziyouz.com kutubxonasi

B
a


6- rasm.
2-misoI. ABC ucburchakda AB tomon N va P nuqtalar bilan uchta teng qismga bo'lingan: AN = NP= PB. Agar CA = a, CB = b
vektorlar berilgan bo'lsa, CN vektomi toping.
► ABC uchburchakni va berilgan vektorlami shaklda tasvirlaymiz (6 - rasm). AB = b - a bo'lganidan:
AN = ^ (b - a)\ CN = CA + AN = 5 + J (A - 5) - \ a +\ b . ◄