Iv bob. Chiziqli tizimlarni rostlashning sifatini baholash usullari

Rostlash sifatini baholashning ildizli usullari.

Tizimning bir qancha xossalarini uning xarakteristik tenglamasi ildizlariga qarab oldindan aytib berish mumkin. Turgun tizimlarda xarakteristik tenglamasi ildizlari kompleks tekisligining chap yarim tekisligida yani mavhum o’qdan chap tomonda yotishi zarur. Shu shart bajarilsagina tizim sifati tadqiq qilinadi, chunki sifat faqat turg’un tizimlarda o’rganiladi. Xarakteristik tenglamasi ildizlari orqali aniqlanadigan sifat ko’rsatkichlari quyidagilar: turgunlik darajasi, tebranuvchanlik (tebranuvchanlik darajasi).
Xarakteristik tenglama ildizlaridan s = +j mavhum o’qqacha bo’lgan masofalar ichida eng kichigi turgunlik darajasi deyiladi(4.23 a-rasm): =min(||), .
Har bir ildiz va koordinatalar boshidan o’tgan to’g’ri chiziqlar bilan haqiqiy o’q orasidagi burchaklar ichida eng kattasining tangensi tebranuvchanlik darajasi deyiladi(4.23 b-rasm): = max(/)=tgmax ;

4.23-rasm.Turgunlik darajasini va tebranuvchanlik darajasini aniqlash.
Tizimning rostlanish vaqti turgunlik darajasi orqali aniqlanadi:

Turgunlik darajasi qancha katta bo’lsa, rostlanish vaqti shuncha kichik bo’ladi. Loyihalashda rostlanish vaqti berilgan qiymatdan ko’p bo’lmasligi talab qilinadi.
Tebranuvchanlik darajasi qancha katta bo’lsa, shu ildizga mos tebranish bir davr ichida shuncha sust so’nuvchi bo’ladi. Loyihalashda tebranuvchanlik darajasi berilgan qiymatdan ko’p bo’lmasligi talab qilinadi. Qayta rostlanish bilan quyidagicha bog’lanishga ega:

Yuqoridagi ko’rsatkichlar xarakteristik tenglama ildizlari topilgandan so’ng aniqlanadi. Turgunlik darajasini shu ildizlarni topmasdan ham topish mumkin. Bunung uchun quyidagi ma’lumotlarga e’tibor beramiz:

4.24 rasm. Turg’unlik.
4.18 rasmga qaraymiz unda quyidagilar ko’rsatilgan:
ildizlarning hammasi mavhum o’qdan chapda yotsa tizim turgun bo’ladi;
ildizdan birortasi mavhum o’q ustida yotsa tizim turgunlik chegarasida bo’ladi;
ildizdan birortasi mavhum o’qdan o’ngda yotsa tizim noturgun bo’ladi.
Endi turgun holdagi tizimda mavhum o’qni c birlik o’ziga parallel ravishda chapga siljitsak quyidagi ko’rinishlardan biri bo’lishi mumkin:

4.25 rasm. Mavhum o’qini c birlik o’ziga parallel ravishda chapga siljitilgan hol.
Mavhum o’qni c birlik o’ziga parallel ravishda chapga siljitish degani, bu
-xarakteristik tenglamada almashtirish bajarish degani.
Bunday almashtirish natijasida yana q o’zgaruvchiga bo’gliq ko’pxad hosil bo’ladi:

Uning koeffitsiyntlari quyidagi formula orqali aniqlanadi:


hususiy holda:




va h.k.
Xarakteristik ko’pxadi bo’lgan tizim turgun edi, c birlikka siljitildan xarakteristik ko’pxadli tizimning turgunligi esa noma’lum. Uni oldingi bobda ko’rgan ixtiyoriy usul bilan turgunlikka tekshirish mumkin. Uning natijasiga (4.19-rasm) qarab berilgan tizimning turgunlik darajasi ni olingan c son bilan solishtirish mumkin.
Agar xarakteristik ko’pxadli tizim:

• 
  turgun bo’lsa, turgunlik darajasi olingan c sonidan katta ( >c ) bo’ladi;
  
• 
  noturgun bo’lsa, turgunlik darajasi olingan c sonidan kichik ( < c) bo’ladi;
  
• 
  turgunlik chegarasida bo’lsa, turgunlik darajasi olingan c soniga teng ( = c) bo’ladi;
  

Agar tizim uchun c meyoriy, ya’ni ruxsat etilgan qiymat bo’lsa o’zgartirilgan xarakteristik ko’pxad turgun bo’lgani va turgunlik chegarasida bo’gani maqsadga muvofiqdir.
Demak, bu bilan xarakteristik tenglama ildizlarini topmasdan turgunlik darajasi ruxsat etilgan qiymatdan kattami yo’ki kichikmi aniqlab olish mumkin ekan.
Agar c ni o’zgaruvchi sifatida yo’zsak, o’zgartirilgan xarakteristik ko’pxad koeffitsientlari c ga bogliq ifodalar bo’ladi, ulardan tuzilgan Gurvits (n-1)-tartibli determinantini nolga tenglab, tenglamani yechsak, topiladigan c turgunlik chegarasida bo’ladigan siljishni ko’rsatadi, demak, u turgunlik darajasini beradi.
1-Misol.
xarakteristik ko’pxad bilan berilgan tizim turgunlik darajasi birdan ortiq bo’ladimi?
Yechish. Oldin ko’pxad o’zi turgunmikan, teksiramiz: Raus mezoniga ko’ra n-1=4-1=3 –tartibli determinantini hisoblaymiz:

Demak, berilgan tizim o’zi turgun. Endi c=1 bo’lgani uchun almashtirish bajarishdagi ko’pxad koeffitsientlarini topamiz:


Boshqa koeffitsientlarini topishga zarurat yoq, chunki manfiy koeffitsient noturgunlikni bildiradi. Demak, o’zgartirilgan xarakteristik ko’pxad noturgun, bundan berilgan tizim turgunlik darajasi birdan kichik:  < 1
2-Misol.
xarakteristik ko’pxad berilgan. Turgunlik darajasi birdan ortiq bo’ladimi.
Yechish. Oldin berilgan tizimning turgunligini teksiramiz: Raus mezoniga ko’ra n-1=3-1=2 –tartibli determinantini hisoblaymiz:

Demak, berilgan tizim o’zi turgun. Endi c=1 bo’lgani uchun almashtirish bajarishdagi ko’pxad koeffitsientlarini topamiz:
= 0
= 1

1
Demak, almashtirilgan ko’pxad ko’rinishi

Unung ildizlari siljitilgan mavhum o’q ustida yotadi. Demak, o’zgartirilgan tizim turg’unlik chegarasida ekan. Bundan xulosa qilish mumkinki, turgunlik darajasi birga teng:  = 1
Rostlash sifatini baholashning ildizli usulini MatCAD dasturida osongina qo’llash mumkin.
Tenglamani yozamiz, noma’lumni blokka olib Символьные операции Переменная Решить buyrugini beramiz. Topilgan ildizlardan turgunlik darajasi, tebranuvchanlik darajasini aniqlash mumkin. Lekin MatCADda ko’phad ildizlari murakkab ko’rinishda ham hosil qilinadi, bunday hollarda yuqorida ko’rib o’tilgan =q-c almashtirish foydalaniladi.

4.26-rasm. MatCAD dasturida rostlash sifatini baholashning ildizli usulini qo’llash.
Nazorat savollari:

1. 
   Rostlash sifatini baholashda qangay ildizli ko’rsatkichlar foydalaniladi?
   
2. 
   Turgunlik darajasi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Tebranuvchanlik darajasi deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Tizimning rostlanish vaqti qanday ko’rsatkich orqali aniqlanadi?