под действием приложенных к ней сил. К этим принципам относятся, например, 2-й
закон Ньютона, согласно которому при движении любой точки системы произведение
еѐ массы на ускорение равно сумме всех приложенных к точке сил, а также принцип
Д’Аламбера.
Невариационные принципы справедливы для любой механической системы и
имеют сравнительно простое математическое выражение. Однако их применение
ограничено
только рамками механики, поскольку в выражения принципов
непосредственно входит такое чисто механическое понятие, как сила. Существенно
также следующее. В большинстве задач механики рассматривается движение
несвободных систем, т.е. систем, перемещения которых ограничены связями.
Примерами таких систем являются всевозможные машины и механизмы, где связями
являются подшипники, шарниры, тросы и т. п., а для наземного транспорта – ещѐ и
полотно дороги или рельсы. Чтобы изучить движение несвободной системы, исходя из
невариационных принципов, надо эффект действия связей заменить некоторыми
силами,
называемыми реакциями связей. Но величины этих реакций заранее
неизвестны, поскольку они зависят от того, чему равны и где приложены
действующие на систему заданные (
активные) силы, такие, например, как силы
тяжести, упругости пружин, тяги и т. п., а также от того, как при этом движется сама
система. Поэтому в составленные уравнения движения войдут дополнительные
неизвестные величины в виде реакций связей, что обычно
существенно усложняет
весь процесс решения.
Преимущество вариационных принципов
состоит в том, что из них сразу
получаются уравнения движения соответствующей механической системы, не
содержащие неизвестных реакций связей. Достигается это тем, что эффект действия
связей учитывается не заменой их неизвестными силами (реакциями), а
рассмотрением тех перемещений или движений (или же приращений скоростей и
ускорений), которые точки этой системы могут иметь при наличии данных связей.
Содержание
вариационных принципов состоит в том, что они устанавливают
свойства (признаки), позволяющие отличить истинное, то есть фактически
происходящее под действием заданных сил, движение механической системы от тех
или иных кинематически возможных еѐ движений (или же состояние равновесия
системы от других возможных еѐ состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят
в том, что для истинного движения некоторая физическая величина, зависящая от
характеристик системы, имеет наименьшее значение по сравнению с еѐ значениями во
всех рассматриваемых кинематически возможных движениях. При этом вариационные
принципы могут отличаться друг от друга видом указанной
физической величины и
особенностями рассматриваемых кинематически возможных движений, а также
особенностями самих механических систем, для которых эти принципы справедливы.
Использование вариационных принципов требует применения методов вариационного
исчисления.
По форме вариационные принципы разделяют на два типа. Это –
дифференциальные, в которых устанавливается, чем истинное движение системы
отличается от движений кинематически возможных в каждый данный момент
времени, и
интегральные, в которых это различие устанавливается для перемещений,
совершаемых системой за какой-нибудь конечный промежуток времени.
К основным дифференциальным вариационным принципам относятся:
-
принцип возможных перемещений, устанавливающий условие равновесия
механической
системы с идеальными связями; согласно этому принципу, положения
равновесия механической системы отличаются от всех других возможных для неѐ
положений тем, что только для положений равновесия сумма элементарных работ
всех приложенных к системе (активных и реактивных) сил на любом возможном
перемещении системы равна нулю.
-
принцип Д’Аламбера - Лагранжа, согласно которому истинное движение
механической системы с идеальными связями отличается от всех кинематически
возможных
движений тем, что только для истинного движения в каждый момент
времени сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных,
реактивных и инерционных сил на любом возможном перемещении системы равна
нулю. В этих вариационных принципах рассматриваемой физической величиной
является работа сил.
К интегральным вариационным принципам относятся
принципы наименьшего
(стационарного) действия, согласно которым истинным
среди рассматриваемых
кинематически возможных движений системы между двумя еѐ положениями является
то, для которого физическая величина, называемая действием, имеет минимальное
значение. Разные формы этих принципов отличаются друг от друга выбором величины
действия и особенностями сравниваемых между собой кинематически возможных
движений системы. Применяются вариационные принципы как для составления в
наиболее простой форме уравнений движения механических систем, так и для
изучения общих свойств этих движений. При соответствующем
обобщении понятий
они используются также в
механике сплошных сред, термодинамике,
электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.
Принцип «наименьшего количества действия» предложил
Пьер Мопертюи
Do'stlaringiz bilan baham: 
