классическая механика является могучим инструментом в решении многочисленных
практических задач. Достаточно лишь вспомнить, что полеты космических кораблей
обеспечиваются расчетами методами классической механики. Как и всякая наука,
механика опирается на некоторые первичные понятия, как это и делал Ньютон.
Перечислим основные понятия современной классической механики.
1. Пространство является однородным трехмерным,
евклидовым; оно
описывается евклидовой метрикой, не зависящей от каких-либо физических объектов,
в частности, от массы.
2. Время одномерно, оно измеряется по движению тел. За одну секунду
принимается промежуток времени, за который происходит 9 192 631 770 периодов
излучения, отвечающего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного
состояния цезия-133 (согласно резолюции 13 Генеральной конференции по мерам и
весам, 1967 г.). Время во всех системах одинаково и не зависит от скорости тела, на
котором оно измеряется.
3. Существует
хотя бы одна система отсчета, в которой выполняется второй
закон Ньютона. Такая система называется инерциальной. Доказывается, что любая
система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы поступательно,
прямолинейно и равномерно, также является инерциальной (принцип относительности
Галилея).
4. Масса является характеристикой тела, она постоянна, не зависит от скорости
движения тела и от вещества, из которого оно сделано. Материальной точкой
считается геометрическая точка, имеющая конечную массу.
5. Сила возникает в результате взаимодействия тел. Она вызывает ускорение
этих тел или их деформацию. Сила является векторной величиной.
6. Принцип причинности. Задание динамических
переменных механической
системы (совокупность координат и скоростей, или импульсов) в начальный момент
времени однозначно определяет все движение системы в любой последующий момент
времени. Наш мир таков, что эти переменные полностью определяют состояние
механической системы, и нет необходимости задавать другие величины, например,
ускорение. Это есть экспериментальный факт.
Современная
классическая
механика
имеет
хорошо
разработанные
аналитические и численные методы решения самых разнообразных практических
задач, и многие современные математические теории возникли из проблем механики.
Эти
абстрактные теории, доведенные до полного совершенства, в свою очередь,
применяются при изложении механики.
Уравнения Ньютона позволяют точно решать и исследовать многие важные
задачи, например, движение в центральном поле сил. Однако точное решение
большинства задач является скорее исключением, чем правилом,
поэтому были
разработаны различные достаточно эффективные приближенные методы. Среди таких
методов наиболее важными являются асимптотические методы, основанные на теории
возмущений, разделении быстрых и медленных движений и усреднении по быстрым
осцилляциям. Асимптотические методы были разработаны русскими математиками
Николаем Митрофановичем Крыловым (1879-1955), Николаем Николаевичем
Боголюбовым (1909-1992) и многими другими учеными. Эти методы особенно ус-
пешно применяются в теории нелинейных колебаний. Систематические исследования
нелинейных колебаний начались с работы Пуанкаре
«О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями» (1880). Пуанкаре ввел особые точки и дал им
определения:
центр, седло, фокус и
узел. Он указал также на возможность
предельных
циклов. Нахождение особых точек и анализ траекторий в
фазовом пространстве
являются мощным средством изучения нелинейных колебаний. В 1928 г. русский
ученый А.А. Андронов (1901-1952) показал, что фазовые траектории при устойчивом
предельном цикле Пуанкаре приближаются к нему как снаружи, так и изнутри. В
результате этого возникают устойчивые колебания, которые Андронов назвал
автоколебаниями.
В механике динамических систем выявилась важная роль двойственных
проблем, таких как линейность - нелинейность, случайность - закономерность,
устойчивость
- неустойчивость, коллапс - взрыв, детерминизм - неопределенность,
дискретность - непрерывность, регулярность - сингулярность и т.д. Решение многих
вопросов такого типа дается в рамках нового направления в механике -
стохастиче-
ской динамики (см.:
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая
динамика. - М., 1984;
Заславский Г М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. - М.,
2004).
При анализе нелинейных динамических систем разной природы последнее
время успешно
используется новый метод, так называемый
вейвлетный анализ,
возникший в 1984 г. Понятие «вейвлет» (
маленькая волна) является обобщением
преобразования Фурье. Вейвлетный анализ наиболее эффективен в тех случаях, когда
в сигнале возникают или исчезают гармоники, или частота гармоник плавно
изменяется с течением времени. Такая ситуация может реализоваться при переходе
динамической системы от периодического режима движения к хаотическому.
Исследования нелинейных движений непосредственно связаны с проблемой
устойчивости этих движений. Проблема устойчивости движения является
чрезвычайно важной не
только в механике и в физике, но и в электротехнике,
радиофизике, астрономии, химии и в технике. Наиболее важные результаты в теории
устойчивости принадлежат Ляпунову. До Ляпунова теория устойчивости движения
строилась в линейном приближении. Он впервые показал, что необходимо
рассматривать полные дифференциальные уравнения возмущенного движения.
Впоследствии теоремы Ляпунова об устойчивости движения были обобщены (Н.Г.
Четаев и др.). Теория устойчивости движения, имеющая многочисленные важные при-
ложения
(ускорение
заряженных
частиц,
космические
полеты,
системы
автоматического регулирования и т.п.), и в которой получено много новых
фундаментальных результатов, продолжает развиваться.
