История и методология физики

(1698-1759). Следующий важный шаг в развитии вариационных принципов был 
сделан Уильямом Гамильтоном (1805-1865). Гамильтон предложил новую форму 
вариационного принципа механики. Итак, принцип наименьшего действия Гамильтона 
можно сформулировать следующим образом. Действие S для истинного движения 
материальной точки, траектория которого в начальный и конечный моменты времени 
проходит через две определенные точки, принимает минимальное значение по 
сравнению с любыми виртуальными движениями, траектории которых в указанные 
моменты времени проходят через те же две точки.
Кратко остановимся на роли, которую сыграли вариационные принципы в 
развитии физики. После формулировки вариационных принципов в форме Мопертюи 

---

и Гамильтона были предложены и другие вариационные принципы механики. Их 
общее значение заключалось в том, что с их помощью удавалось единым методом 
получать уравнения движения сложных механических систем. В дальнейшем было 
показано, что вариационные принципы возможны и в других разделах физики, 
например в электродинамике и специальной теории относительности. 
Таким образом, начиная с конца XIX в принцип наименьшего действия играет в 
физике все большую и большую роль как общефизический принцип. Выявляется, что 
с его помощью можно просто и изящно сформулировать в математической форме 
основные законы многих общих физических теорий. Для этого нужно только опре-
делить переменные, которые следует взять за основу этой теории, и найти выражение 
соответствующего кинетического потенциала, или лагранжиана. Тогда одно 
уравнение, выражающее вариационный принцип, заменит множество математических 
соотношений данной теории. Открытие теории относительности еще больше укрепило 
значение принципа наименьшего действия, так как оказалось, что действие является 
релятивистским инвариантом. Вместе с этим и формулировка основных 
математических соотношений какой-либо физической теории с помощью принципа 
наименьшего действия также релятивистски инвариантна. Некоторые физики 
начинают рассматривать принцип наименьшего действия как один из самых фун-
даментальных принципов физики. Так, например, Планк считал этот принцип 
важнейшим физическим принципом, даже более важным, нежели принцип сохранения 
энергии. В статье «Принцип наименьшего действия», относящейся к 1915 г., он писал, 
что в достижении цели обобщения всех физических законов в неком едином принципе 
принцип наименьшего действия играет особую роль. 
Гамильтонова форма уравнений движения оказалась наиболее удобной и 
целесообразной при рассмотрении системы многих частиц и построении 
статистической механики. В теории систем многих частиц предполагается, что 
каждая из N частиц системы описывается шестью динамическими переменными (без 
учета внутренних степеней свободы) 
Эти переменные американский физик 
Джозайя Уиллард Гиббс (1839-1903) назвал фазой. 
Гиббс ввел фазовое пространство одной частицы (фазовое -пространство). 
Совокупность фаз всех частиц образует фазовое Г-пространство. Динамическое 
состояние системы частиц в таком пространстве изображается точкой. По мере 
движения частиц изображающая точка описывает фазовую траекторию, которая 
полностью определяется положением изображающей точки в начальный момент 
времени и заданием функции Гамильтона всей системы. Ясно, что решить систему 
огромного числа канонических уравнений практически невозможно даже при 
использовании современной компьютерной техники. Но если бы это было и возможно, 
то все равно задание начальных фаз каждой из частиц совершенно не выполнимо. 
Поэтому в статистической механике используется идея представляющих ансамблей, 
которую предложил Гиббс в 1903 г. Ансамбль Гиббса – это бесконечная совокупность 
совершенно одинаковых механических систем, которые отличаются друг от друга 

---

только начальными условиями. Ансамбль Гиббса можно представить как «облако» в 
фазовом Г-пространстве. В соответствии с этим вводится плотность в фазовом 
пространстве, эволюция которой описывается уравнением Лиувшля. Это уравнение 
составляет основу современной статистической физики неравновесных состояний. 
Гиббс придавал большое значение системе обозначений в физике. Именно он 
ввел точку и крест для обозначения скалярного и векторного произведений векторов. 
Он писал: «Если я достиг каких-то успехов в математической физике, то это, как я 
думаю, произошло потому, что я смог преодолеть математические трудности». 
Изложение механики упростило и сделало более понятным введение векторного 
исчисления. Гамильтон ввел в 1843 г. ввел понятие «кватернионы», являющееся 
обобщением понятия комплексного числа, а в 1847 г. ввел термин «вектор». В 
дальнейшем немецкий математик Герман Грассман (1809-1877) создал векторное 
исчисление.