Issn 2181-9580 toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

Haqiqiy sonlar sistemasini fan ichidagi va turli fanlarda o‘zaro aloqadorlikda o‘qitish 
imkoniyatlari. 
Yuqoridagi bandda matematik analiz kursida haqiqiy sonlar ratsional sonlar 
kesimi yordamida kiritilishi aytildi. Ammo bunda haqiqiy sonlar ustida amallar qat’iy 
aniqlanmaydi. Haqiqiy sonlar ustidagi amallar ratsional sonlar kesimi yordamida aniqlash 
sxemasi tushuntiriladi. Haqiqiy sonlarning tartiblanganligi, haqiqiy sonlar to‘plamining 
zichligi to‘liq isbotlanadi, asosiy oraliqlar ta’riflanadi. Ammo bu oraliqlarning bog‘lamli 
to‘plam ekanligi ta’kidlanmaydi. Shuningdek, ratsional (irratsional) sonlar to‘plamining 
haqiqiy sonlar to‘plamida zich ekanligi aytilmaydi. Ana shu tushunchalarni o‘rganish davrida 
didaktik ilgarilashg‘oyasiga
1
asoslangan holda bu xossalarning uzluksiz funksiyalarning 
xossalarini o‘rganishda foydalanishi va ular matematik analizning haqiqiy o‘zgaruvchining 
funksiyalari nazariyasi bo‘limida batafsil o‘rganilishini aytib o‘tish maqsadga muvofiq bo‘ladi. 
1
Лушникова Н.В. Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике (на примере линейной 
алгебры). Дис. ... канд. пед. наук. -Арзамас.: 2006. - 162 с. 34 б. 
20

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/5 
Bunda ratsional sonlar to‘plamining sanoqliligi, haqiqiy sonlar to‘plamining sanoqsizligi 
(kontinuum quvvatli) to‘plam ekanligi isbotlanadi. Shu fanning funksional analiz elementlari 
bo‘limida metrik fazolarni o‘rganish davrida ratsional sonlar to‘plamidagi, haqiqiy sonlar 
to‘plamidagi metrikalar o‘rganiladi. Odatdagi metrikaga nisbatan ratsional sonlar fazosining 
to‘liqmasligi ta’kidlanadi. Haqiqiy sonlar fazosining to‘liqligi Koshi kriteriyasi yordamida 
asoslanadi. “To‘liq metrik fazolar” mavzusini o‘rganish jarayonida metrik fazoni to‘ldiruvchisi 
haqidagi teorema o‘rganiladi, misollar qaraladi. Shu mavzuga bag‘ishlangan amaliy 
mashg‘ulotda ratsional sonlar fazosini to‘ldirish masalalasini quyidagi masalalar tizimi 
asosida o‘rganishni taklif qilamiz: Hadlari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan barcha 
fundamental ketma-ketliklar to‘plamini 
orqali belgilaylik. Bu to‘plamga tegishli ketma-
ketlikni « – ketma-ketlik» deyiladi. 
№1. Har qanday – ketma-ketlik chegaralangandir. Isbotlang. 
№2. 
va 
bo‘lsin. U holda shunday musbat ratsional son 
a
mavjudki, 
biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning barcha qolgan hadlari uchun 
va ushbu 
yoki 
tengsizliklardan faqat bittasi bajariladi. Isbotlang. 
№3. 
, 
va 
uchun 
bo‘lsin. U holda shunday 
mavjudki, 
uchun 
bo‘ladi. Isbotlang. 
№4. 
bo‘lsin. Agar 
ketma-ketlikning limiti 0 bo‘lsa, 
ketma-ketliklar teng kuchli (ekvivalent) deyiladi va 
kabi belgilanadi. Bu munosabat 
ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. Isbotlang. 
№5. 
– ketma-ketlik bo‘lsin. Bu ketma-ketlikning chekli sondagi dastlabki 
hadlarini olib tashlash natijasida hosil bo‘lgan ketma- ketlik 
ga ekvivalent bo‘ladi. 
Isbotlang. 
№6. 
– ketma-ketliklar bo‘lsin. U holda 
bo‘ladi. Agar 
va 
uchun 
bo‘lsa u holda 
bo‘ladi. Isbotlang. 
№7. 
– ketma- ketliklar va 
, 
bo‘lsin. U holda 
, 
bo‘ladi. Agar 
(
) va 
uchun 
, 
bo‘lsa u holda, 
bo‘ladi. Isbotlang. 
Ekvivalentlik munosabati 
ni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. O‘zaro ekvivalent 
bo‘lgan barcha fundamental ketma-ketliklarlar bitta sinfga tegishli deb hisoblaymiz. 
Masalan, 
va 
bo‘lsa, limiti ga teng bo‘lgan barcha fundamental 
ketma-ketliklar lar 
olingan sinfga tegishli bo‘ladi. 
Xususan, shu sinfga 
ketma-ketlik ham tegishli bo‘ladi,
ga 
ekvivalent bo‘lgan barcha fundamental ketma-ketliklar sinfini ratsional son ni aniqlovchi 
sinf deyiladi, bu sinfning vakili deganda biz, soddalik uchun ni tushunamiz. 
№8.Ushbu ketma-ketliklarning fundamental va ekvivalent ekanligini isbotlang: 
a) 
va 



 