Исследовательская работа Выполнена обучающейся 10 класса моу «Звениговский лицей» Городиловой Анастасией Павловной



Download 209,96 Kb.
bet4/6
Sana16.06.2022
Hajmi209,96 Kb.
#677788
TuriИсследовательская работа
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Схема Горнера и её применения

Задача 1 . Найти значение функции в точке х = -1,

Составим таблицу, в первой строке которой записаны коэффициенты многочлена .






1

-3

-13

15

-1

1

-4

-9

24

f(-1)=24(мы нашли значение функции в точке -1)


Задача 2 . Вычислить p(3) ,где






4

-7

5

0

-2

1

3

4

5

20

60

178

535

Значит, p(3)=535.


4.2 Разложение многочлена на множители
Для нахождения корня многочлена нам помогут следующие теоремы:
Теорема 1: Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то число 1 является корнем многочлена.
Теорема 2: Если сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то число (-1) является корнем многочлена.
Задача 1. Разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен

Решение: Ищем целые корни среди делителей свободного члена: .
Составим таблицу коэффициентов и выясним, является ли число 1 корнем многочлена?




2

-7

-3

5

-1

х = 1
















По схеме Горнера заполним пустые ячейки таблицы.




2

-7

-3

5

-1

х = 1

2

-9

6

-1

0

Так, как в последней ячейке получилось значение равное нулю,
то х = 1 – это корень многочлена. Или это следует из Теоремы 1.
Из теоремы Безу следует, что
Ищем целые корни многочлена среди делителей его свободного члена: . Вычисления показывают, что целых корней нет. Так как старший коэффициент многочлена не равен 1,то многочлен может иметь дробные рациональные корни. Дробными корнями могут быть только числа . Подходит
Имеем:
Трехчлен на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.
Ответ:
10.3 Деление многочленов
Задача 1. Разделить многочлен на , используя схему Горнера.
Запишем данный многочлен в виде 5х4 + 5х3 + х2 + 0х – 11 и составим таблицу. При помощи схемы Горнера её заполним.




5

5

1

0

-11

х = 1

5

10

11

11

0

Числа, расположенные во второй строке, есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на х-1. Т.к. степень исходного многочлена 5х4+5х32-11 равнялась четырем, то степень полученного многочлена на единицу меньше, т.е. равна трем.
Получаем
В нашем случае остаток равен нулю. Значит, можно сформулировать такой вывод: многочлен делится на х-1, и еще х = 1 является корнем многочлена.
10.4 Решение уравнений высших степеней
Уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) - многочлен степени n > 2, записанное в виде a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +…+an-1 x +an = 0, называют уравнениями высших степеней, где n показывает степень уравнения.
Задача 1. Решить уравнение:




1

-3

-13

15

1

1

-2

-15

0

-1

1

-4

-9

24

2

1

-1

-15

-15

-2

1

-5

-3

9

3

1

0

-13

-24

-3

1

-6

5

0

5

1

2

-3

0

-5

1

-8

27

120

Коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x3) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 15.
Свободный член 15: его делители ± 1, ± 3, ± 5, ± 15
По теореме 1, сумма коэффициентов равна 0, значит 1 является корнем.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена , расположенные по убыванию степеней переменной х. Во второй строке запишем 1, т.к. мы делим на х-1.
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅1+(-3)=-2. Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅(-2)+(-13)=-15
Для пятой ячейки получим: 1⋅(-15)+15=0. Значит 1 корень уравнения. Если получается число, отличное от нуля, то это не корень.
Заполняем таблицу и для других делителей:-1 не удовлетворяет по теореме 2, поэтому не проверяем. Из таблицы видно, что найдены три корня. Уравнение 3 степени не может иметь более трех корней, поэтому остальные делители можно не проверять. Мы нашли корни уравнения
х1 =1, х2= -3, х3 = 5
Ответ: -3; 1; 5.
Задача 2. а) Найти целые корни уравнения
Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем эти делители: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Составим и заполним таблицу по схеме Горнера. Для начала запишем многочлен в стандартном виде: х3- 0х2 - 7х-6.
1 не подставляем, т.к. не выполняется условие теоремы 1.




1

0

-7

-6

-1

1

-1

-6

0

2

1

2

-3

-12

-2

1

-2

-3

0

3

1

3

2

0

решив уравнение получили корни х1 = -1, х2 = -2, х3 = 3




10.5 Умножение многочлена на одночлен
Схему Горнера можно использовать не только для разложения многочлена на множители, но и для решения обратной задачи – для умножения многочлена на двучлен
Пример1. Преобразовать в многочлен стандартного вида
произведение
Решение. При искомый многочлен обращается в нуль. Если бы мы искали значение многочлена с помощью схемы Горнера, то вторая строка таблицы содержала бы коэффициенты многочлена Учитывая, что его коэффициент при равен нулю, начертим таблицу и заполним её вторую строку.



















3

2

5

0

-4

0

В первой клетке первой строки должно стоять число 2. Во второй клетке – число, которое в сумме с произведением даёт 5, т.е. число -1. Число в третьей клетке первой строки в сумме с произведением даёт 0. Значит, это число -15. Аналогично, в четвёртой клетке должно стоять число -4, а в последней, пятой клетке первой строки – число 12. Заполним верхнюю строку таблицы.




2

1

15

-4

12

3

2

5

0

-4

0

В верхней строке таблицы мы получили коэффициенты искомого многочлена.


Ответ:
4.6 Решение неравенств высших степеней.
Пример1. Решите неравенство
Для решения неравенства методом интервалов разложим на множители
многочлен . Так, как сумма его коэффициентов равна 0, то один из корней равно 1.
Составим таблицу и заполним её по схеме Горнера.




1

-4

5

-2

1

1

-3

2

0

По теореме Безу получаем


Далее
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим, что .
Ответ: .


10.7 Применение схемы Горнера при решении задач с параметром.
1) Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х0 , если
f(х) = х3 + 8х2 + ах + b, х0 = – 3.
Так один из корней х0 = – 3 , то по схеме Горнера имеем:




1

8

а

b

3

1

5

15 + а

0



х3 + 8х2 + ах + b = (х + 3) (х2 + 5х + (а – 15))
Уравнение х2 + 5х + (а – 15) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0.
а = 1; b = 5; с = (а – 15),
D = b2 – 4ac = 25 – 4 (a – 15) = 25 + 60 – 4a > 0,
85 – 4a > 0;
4a < 85;
a < 21
Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f(х) = 0 имеет три корня, а = 21.
Ответ: 21.
2) Многочлен при делении на , даёт остаток 18,
а на делится без остатка. Найдите значения и корни многочлена.
Решение. Если многочлен делится на с остатком, равным 18,
то из теоремы следует, что
В нашем примере получается, что Так, как , то корень многочлена.
Вычислим и по схеме Горнера.
Для :





Download 209,96 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish