Исследование задач диффузии информации

Системы уравнений Модели
Математические модели в виде уравнений или наборов уравнений представляют собой процессы, описывающие явления , происходящие в науке, экономике и технике [23]. Здесь мы рассмотрим их применение в биологии, что более важно, в экологии. Модель направлена на то, чтобы обеспечить качественное предсказание, а также осмыслить мир природы. Но в большинстве случаев научная точность должна быть принесена в жертву математической податливости. Сложность модели обусловлена большим количеством рассматриваемых параметров и переменных [23]. Модель с одной популяцией показала бы, что размер популяции сходится к постоянному значению, в то время как популяция двух видов может демонстрировать различное поведение в форме периодических циклов [17]. Эти циклы часто наблюдаются в природе и поэтому оправдывают использование систем уравнений. Системы уравнений позволяют нам начать с простоты, прежде чем при необходимости наращивать сложность модели [23]. Системы уравнений бывают непрерывного типа, состоящие из систем дифференциальных уравнений, и дискретного типа, с применением систем разностных уравнений. Затем они могут быть включены в модели взаимодействующих видов, включая отношения хищник-жертва, конкуренцию и отношения мутуализма или симбиоза [20], [30]
Метод Исключения:
Рассмотрим следующую систему из двух уравнений первого порядка [4]:

Система уравнений (58) и (59) может быть сведена к одному уравнению второго порядка в x(t) , используя следующую процедуру исключения:

1. 
   Сначала мы дифференцируем уравнение (58) относительно t:
   

2. 
   Подставляя (59) в (60), мы получаем:
   

3. 
   Переставляя (58), мы имеем:
   

4. 
   Замена (62) в (61) дает:
   

4. 
   Поэтому:
   

где и
Общее решение (68) имеет вид:

Где
Пусть Когда δ < 0, уравнение (69) дает комплексные собственные значения.
ДИФФУЗИОННАЯ ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В этом разделе мы сначала определяем две метрики для количественной оценки расстояние между двумя пользователями в социальных сетях онлайн, затем опишите модель диффузионной логистики на основе PDE, чтобы охарактеризовать процесс распространения информации. Впоследствии мы проанализировать свойства модели и дать рекомендации по построению начальной функции плотности и выбору параметров модели.
A. Метрики расстояния
В этой статье мы изучаем распространение информации в двух измерениях: временном и пространственном. Прежде чем мы представим математической модели, нам нужно дать четкое определение расстояния, которое соответствует пространственному измерению. Мы предлагаем количественно оценить расстояние с двух точек зрения: дружба и общие интересы. Естественная метрика расстояние между двумя пользователями - это длина кратчайшего пути, измеряется количеством переходов от одного пользователя к другому в графе социальной сети. Мы называем эту метрику расстояния дружба хмель.
В социальных сетях онлайн интерес - еще один показатель. Для два пользователя без прямой дружбы, если они показали схожие интересы, весьма вероятно, что информация будет распространяются между ними, поскольку социальная сеть в Интернете обеспечивает удобный канал для обмена и общения за пределами дружба. Поэтому мы вводим альтернативную метрику, называемую общие интересы для измерения расстояния между двумя пользователями.
Для двух пользователей социальных сетей a и b пусть и обозначают набор содержимого, с которым взаимодействовали пользователи a и b (В контексте сетей представляет все новости истории, за которые проголосовал или раскопал пользователь), общие интересы между пользователями a и b определяется как: (1) где - количество всего содержимого, которое либо пользователь a или пользователь b взаимодействовал, а - это количество общего содержимого, которое есть у обоих пользователей a и b взаимодействовал с. По сути, процентное расстояние количественно определяет степень общих интересов двух пользователей. Информация исходящий из источника с большей вероятностью повлияет на пользователей у которых общие интересы меньше, чем у пользователей с большим ед.
Б. Распространенная логистическая модель. Информация и влияние динамически распределяются по многим разными способами через сложные социальные сети онлайн. Это сложно определить топологию основного распространения сети [15]. В общем, информация может распространяться по социальные связи между пользователями, которые являются прямыми друзьями и могут также распространяются случайным образом среди пользователей без прямого общения ссылки. Например, в сетях распространение информации происходит, когда подписчик голосует за новости, представленные его последователь. Кроме того, пользователь, не являющийся подписчиком пользователей кто проголосовал за новость, может также проголосовать за ту же новость после новости продвигаются на первую страницу или отображаются в результатах поиска функции сайта . Следовательно, распространение информации также происходит между этими двумя избирателями, которые не являются прямыми друзьями.
В этом разделе мы предлагаем диффузионную логистику на основе PDE. модель для характеристики распространения информации в динамических и сложные онлайн-социальные сети. Предлагаем инновационный подход к абстрактному разделению диффузии на два процесса, которые могут быть соответственно смоделированы с помощью математических моделей широко используется в математической биологии, социологии, экономике, и области физики.
1) Эвристика модели: пусть U обозначает популяцию пользователей в
онлайн-социальная сеть, а s является источником информации. Для пользователей социальных сетей, исходя из их расстояния до источник, совокупность пользователей U разбита на набор группы, т. е. , где m - максимальное расстояние. Группа состоит из пользователей, у которых есть расстояние x до источника.
По мере распространения информации через социальные сети некоторые пользователи выражают интерес к информации, комментируя, голосование, пересылка, копание или другие действия. Мы называем такие пользователей как влияющих на пользователей информации. Обозначим через плотность затронутых пользователей на расстоянии x в течение времени t, что is, отражает соотношение количества пользователей, на которые оказали влияние с расстоянием x в момент времени t по общему количеству пользователей в . Величина зависит от двух диффузионных процессов.
Во-первых, пользователи в , где , могут влиять на пользователей в через прямые или косвенные дружеские связи, которые могут быть однонаправленный или двунаправленный. Мы называем этот процесс диффузией обработать. Мы предполагаем, что это распространение происходит в виде случайное блуждание, то есть пользователи на удалении x случайным образом влияют пользователи на другом расстоянии. Во-вторых, пользователи в также могли влиять друг на друга. В социальных сетях онлайн социальные треугольники, также называемые триадами, образованные высокой кластеризацией пользователей, очень распространены в социальных сетях. Следовательно, возможно, что два пользователя на одинаковом расстоянии от источник тоже сами друзья. Мы называем этот процесс ростом обработать.
Рисунок 1 иллюстрирует процесс распространения и роста. Круг представляет всех пользователей, находящихся на расстоянии i. из источника. В нем много пользователей, которые распространяют информацию среди них. Пользователи на определенном расстоянии могут разноситься информация для пользователей на других расстояниях случайным образом. Рис. 1. Процессы распространения информации в социальных сетях.
2) Описание модели: можно смоделировать процесс роста. с простой логистической моделью [14]. Логистическая модель широко используется для моделирования динамики популяции, где скорость воспроизводство пропорционально как существующему населению и количество доступных ресурсов. Он также использовался для описания различной динамики популяции и прогнозирования роста бактерий и опухолей с течением времени и т. д. [14]. Логистическое уравнение определяется следующим образом. Обозначая N население в момент времени t, r - собственная скорость роста, K - несущая способность что дает верхнюю оценку N, динамика населения регулируются:

где -первая производная от N по t. В контексте социальных сетей нас интересует в моделировании воздействия влияния пользователя в рамках одного и того же группа по росту , плотность влияния пользователи на расстоянии x в течение времени t. Следовательно, рост процесс моделируется как:

Процесс диффузии можно естественным образом смоделировать с помощью Закон диффузии Фика [14], который использовался для измерения диффузия тепла в металле, а также диффузия химический указывает. Согласно закону Фика, случайное распространение информации среди групп пользователей на разном расстоянии может измеряться с , если скорость диффузии задана как d. Комбинируя процесс роста и процесс распространения вместе, мы выводим уравнение диффузионной логистики следующим образом:

Где
I (взаимозаменяемый с ) представляет плотность воздействовали на пользователей на расстоянии x в момент времени t;
d представляет собой скорость диффузии, измеряющую, насколько быстро информация путешествует на большие расстояния в социальных сетях;
r представляет собой внутреннюю скорость роста затронутых пользователей с одинаковым расстоянием и измеряет, насколько быстро информация распространяется среди пользователей на том же расстоянии;
K представляет собой пропускную способность, которая представляет собой максимально возможную плотность затронутых пользователей при заданном расстояние;
L и l представляют нижнюю и верхнюю границы расстояния между источником и другой социальной сетью пользователи;
• φ (x) - начальная функция плотности. Это неотрицательно и не идентичен 0. Каждая информация имеет уникальный φ, который может быть построена из начальной фазы распространения;
• представляет собой первую производную I по времени. представляет собой вторую производную I по расстояние x.
- граничное условие Неймана [14], что означает отсутствие потока информации через границы при . Это верно для социальных сетей в Интернете, поскольку информация распространяется внутри сетей.
C. Теоретический анализ модели
Определение 1.Независимое от времени нижнее решение уравнения (4) удовлетворяет

где u является функцией расстояния представляет вторую производную и представляет первую производную . Верхнее не зависящее от времени решение уравнения (4) также может быть определено обращая неравенство в уравнении (5)