Исследование задач диффузии информации

N(t) = S(t) + I(t) + R(t),
где N(t) – это общее количество всех людей, и оно постоянно; S(t) – число уязвимых людей без иммунитета; I(t) – число зараженных людей, которые распространяют болезнь; R(t) – количество людей, которые имеют иммунитет к болезни (в том числе сюда входит и количество умерших людей); λ – параметр, отражающий скорость заражения новых людей, или же вероятность передачи болезни при контакте между незараженным и зараженным; – параметр, отражающий скорость выздоровления, зависящий от времени протекания болезни.
Начальными условиями в момент времени t=0 будут:
S(0) ≥ 0, I(0) ≥ 0, R(0) ≥ 0.
Первое уравнение системы (1) описывает изменение количества людей, не имеющих иммунитета из-за их заражения. Второе описывает одновременно увеличение количества зараженных людей за счет тех, кто не имеет иммунитета и их уменьшение за счет выздоравливающих людей (либо умирающих от болезни). Третье уравнение описывает процесс выздоровления и приобретения иммунитета в последующем, либо же смерти.
SIR-модель является базовой, на основе которой было предложено еще несколько модифицированных моделей. Например, расширенная SIR-модель [ ], которая учитывает изменчивость модели во времени, а именно то, что количество людей N(t) теперь не константа. То есть существует смертность и рождаемость. Что в контексте процессов распространения информации может быть важным, особенно при адаптации данной модели для рассмотрения долгосрочных периодов, во время которых происходит естественный прирост в числе пользователей сети.
Для этого к исходной модели SIR добавляется два новых параметра: μ - отражающий среднюю частоту рождаемости (присоединения к сети); α – средняя частота смертности (выхода из сети). Тогда расширенная SIR-модель будет описываться системой дифференциальных уравнений:
(1.2)
С теми же начальными условиями, что и в предыдущей модели.
Существует так же достаточное количество модифицированных моделей, построенных на основе SIR, таких как SIS, допускающую заражение тех, кто выздоровел, либо же SIRS, учитывающую потерю иммунитета со временем, либо же SEIR, SEIS [ ]. И в каждой из них учитываются некие специфические факторы, необходимые для полноценного описания процесса эпидемий, и их более подробное описание будет опущено, поскольку они являются в меньшей степени релевантными по отношению к процессам описания распространения новостей.
Другой широко известной моделью схожего типа, является модель Далея-Кендалла, предложенная в 1965 году [ ]. Данная модель описывает процесс распространения слухов, или же в общем смысле информации, так же называется DK моделью.
В рамках модели Далея-Кендалла люди делятся на три разные группы: группа, которая начинает распространение слуха U; группа, которая после получения слуха продолжает распространять его V; группа, которая после получения слуха принимает решение не распространять его W (рис. 1).



Рис. 1.1. DK модель распространения слухов.

Здесь, N − число участников процесса распространения. Слух распространяется с вероятностью . Степень принятия слуха определена параметром μ . Когда распространитель слухов сталкивается с аудиторией W, то распространение прекращается и вероятность что это произойдет равна . Слух теряет свою ценность с течением времени. Такая вероятность определяется фактором . Это можно объяснить тем, что слух перестает быть новинкой или не остается частей, которые можно передать. Модель можно представить в виде уравнений:

(1.3)
Решение системы (1.3) можно представить в виде [ ]:

После определения и , решение системы записывается в виде:

Другой подход, в рамках которого модели, концептуально отличаются от описанных выше, является теория клеточных автоматов.
Клеточный автомат — это дискретная динамическая система, включающая однородные клетки соединенные друг с другом. Все клетки образуют клеточный автомат [ ]. Состояние каждой клетки определяется клетками, находящимися в окрестности данной клетки. Набор «ближайших соседей» называется окрестностью конечного автомата с номером j.

Состояние клеточного автомата j в момент времени t + 1 определяется следующим образом:

где F − некая функция, определяющая правило; O(j) − окрестность, в которой содержатся клетки влияющие на клетку j; t − шаг.
Клеточный автомат определен правилами:
- изменение значений каждой клетки происходит одновременно (шагом является изменение единицы времени);
- сеть клеточного автомата является однородной, т.е. правила изменения состояния одинаковы для всех ячеек;
- клетка может влиять, только на клетки соседей;
- число состояний клетки конечно.
Метод клеточных автоматов используется для анализа «диффузии инноваций», этот процесс очень похож на распространение новостей в интернете.
Простейшая функция преобразования модели отвечает следующим правилам: индивидуум соответствует одной клетке, которая может принимать два состояния: 1 – новость принята, 0 – новость не принята. Предполагается что, однажды приняв информацию, состояние остается неизмененным. Автомат принимает решение о принятии новости ориентируясь на мнение ближайших соседей, если среди соседей m поддержали инновацию и p − вероятность принятия новости (генерируется в ходе работы модели), тогда если pm > R, где R − фиксированное пороговое значение, клетка принимает инновацию.
Кроме того, могут быть наложены дополнительные условие на тип новости: клетка располагает свежими новостями (черный цвет), у клетки находится устаревшая информация (серый цвет), клетка не располагает информацией или забыла о ней (белый цвет). Правила распространения новости следующие: в начале каждая клетка закрашена белым цветом, кроме одной черной клетки (которая получила новость); белая клетка может изменить цвет на черный или остаться белой (это означает приняла новость или осталась в неведении); белая клетка меняет свой цвет, если первое условие выполняется (m − число черных клеток, если m < 3 , то p увеличивается в 1,5 раза); если ячейка черная и все ячейки вокруг только черные или серые, она меняет свой цвет на серый (новость устаревает); если ячейка серая и ячейки вокруг только черные или серые, то она меняет свой цвет на белый (информация забыта).
Существует несколько важных моделей, основанных на последней из рассмотренных, например, модель с порогами [ ], в которой предполагается, что помимо всех вышеописанных условий у каждого человека существует еще два состояния: активное и неактивное. Возможен переход только из неактивного в активное. Данный переход определяется для каждого человека в виде некого порогового значения, и если суммарное влияние каждого из соседей в окрестности его превышает, то человек переходит в активное состояние. Наиболее важной моделью этого типа является адаптивно-подражательная, описанная в рамках теории игр: