Issiqlik tarqatish operatorining fundamental yechimi va umumlashgan koshi masalasi

1.3-§. Umumlashgan funksiyalarning yig’masi va uning xossalari


Ta’rif (Klassik funksiyalarning yig’masi). va klassik funksiyalarning yig’masi deb,

ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi, bunda integral barcha da yaqinlashuvchi bo’lishi talab etiladi.
Yig’ma mavjudligining (integralning yaqinlashishi) yetarli shartlari sifatida funksiyaning ixtiyoriy tayin uchun lokal integrallanuvchi bo’lishi va quyidagi shartlardan birortasining bajarilishi talab etiladi: 1) va funksiyalarning birortasi finit, 2) ikkala funksiya ham yarim finit, ya’ni yoki lar uchun nolga teng. Ravshanki, funksiyalarning finitligi o’rniga ularning cheksizlikda tez kamayuvchanlik shartini talab qilsa ham bo’ladi.
Aytaylik, lar da lokal integrallanuvchi funksiyalar bo’lsin.
Ta’rif ( dagi umumlashgan funksiyalarning yig’masi). va funksiyalarning yig’masi deb, ixtiyoriy uchun
(12)
formula yordamida aniqlangan akslantirishga aytiladi, bunda dagi umumlashgan funksiyalarda (12) formula korrekt aniqlanadi.
Teorema (Umumlashgan funksiyalar yig’masining mavjudligi haqida). Faraz qilaylik, , va quyidagi shartlarning hech bo’lmaganda bittasi o’rinli bo’lsin:
(1) shunday son mavjud bo’lib, supp bo’lsa;
(2) shunday son mavjud bo’lib, supp bo’lsa;
(3) shunday son mavjud bo’lib, supp va supp bo’lsa;
(4) shunday son mavjud bo’lib, supp va supp bo’lsa, u holda yig’ma korrekt aniqlangan.
Teoremaning isboti yig’maning ta’rifidan kelib chiqadi, masalan, 3-bandni
isbotlaylik. Haqiqatan ham, ixtiyoriy katta soni uchun

.
Teorema. (Umumlashgan funksiyalar yig’masining xossalari).
Faraz qilaylik, , va yuqoridagi teoremaning (1)-(4) shartlaridan kamida bittasi bajarilsin. U holda
(1)
(2) munosabatlar o’rinli bo’ladi.
Isbot. Oldingi teoremaning (1)-sharti o’rinli bo’lgan holda isbotlaymiz. Qolgan hollar shunga o’xshash isbotlanadi. Aytaylik, funksiya quyidagicha aniqlangan bo’lsin:


.
Funksiyalarning yig’masi ta’rifidan ixtiyoriy uchun


Teoremaning (2)-shartining bajarilishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun






.
Bu yerda ekanligidan foydalanildi.
Misol. ifodani soddalashtiring, bu yerda va
Ixtiyoriy lar uchun


Demak, .