Issiqlik tarqatish operatorining fundamental yechimi va umumlashgan koshi masalasi

1.2-§. Umumlashgan funksiyalarning hosilasi


Misollar
Faraz qilaylik, , bo’lsin. Bo’laklab integrallash
yordamida quyidagi formulaga ega bo’lamiz:

= .
Shunga o’xshash, o’zgaruvchili funksiya holida, ya’ni va , multiindeks, - manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lganda, ixtiyoriy lar uchun

umumlashgan hosila quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

= .
Demak,

tenglik yordamida aniqlangan umumlashgan funksiya umumlashgan funksiyadan olingan umumlashgan hosila deyiladi.
Misol. , bo’lakli uzluksiz funksiya. Bu funksiya da lokal integrallanuvchi bo’lgani sababli unga ixtiyoriy uchun

tenglik bilan aniqlanuvchi regulyar umumlashgan funksiya to’g’ri keladi. Ma’lumki, bo’lakli uzluksiz funksiyaning klassik hosilalari mavjud emas. Ammo uning ixtiyoriy tartibli umumlashgan hosilalari mavjud va quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Misol. funksiya sonlar to’g’ri chiziqining hamma nuqtalarida aniqlangan, nuqtada chekli uzilishga ega va , bo’lsin. U holda ni aniqlovchi formulaga asosan, ixtiyoriy uchun

=
=

,
ga ega bo’lamiz, bu yerda funksiyaning nuqtadagi klassik hosilasi,

esa funksiyaning nuqtadagi sakrashi. Shunday qilib, funksiyaning umumlashgan hosilasi uchun
(11)
formula o’rinli.
Misol. funksiya umuman olganda butun sonlar o’qida klassik ma’noda hosilaga ega emas. funksiyaning umumlashgan hosilasini topish uchun ixtiyoriy uchun quyidagiga ega bo’lamiz:



Demak,
sgn , sgn
Misol. Quyidagi Xevisayd funksiyasi

uchun ekanligini ko’rsatish mumkin. Haqiqatan, , bo’lgani uchun (17) ga asosan . Bu yerdan
,
ekanligi kelib chiqadi.