|
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala
Masalaning qo’yilishi: berilgan chekli
(1)
tenglamaning
(2)
boshlang’ich va
(3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi birinchi chegaraviy masala deb yuritiladi.
Bu yerda uchi koordinat boshida bodgan sterjenining uzunligini, esa shu fizik jarayonni o‘rganish qancha vaqt davom etishini bildiradi, , , -berilgan funksiyalar.
Biz izlanayotgan yechimni yopiq sohada uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz va shuning uchun berilgan , , , funksiyaiarni uzluksizligini va demak,
bo'lishini talab qilamiz.
(l)-(3) chegaraviy masala biror qattiq jismning boshlang’ich harorati ,uning chegarasidagi harorati ma'lum bo'lsa, bu jismning vaqtdagi haroratni aniqlaydi.
(l)-(3) masalani yechishda bo'lishi juda muhim, chunki tor tebranish tenglamasidan farqli o'laroq vaqtni - ga almashtirsak, (1) tenglama tubdan o'zgarib ketadi. Shuni ta'kidlash muhimki, agar (1) tenglamada vaqt - ga almashtirilsa, qaralayotgan boshlang‘ich-chegaraviy masala umuman yechimga ega bo'lmaydi. Bu fizikaviy jarayonlarga va tenglamani keltirib chiqarilishiga bevosita bog'liq.
Biz qo'yilgan (l)-(3) birinchi boshlang'ich-chegaraviy masalani to'liq o'rganish bilan cheklanamiz. Avval bu masala yechimining yagona ekanligini ekstremum prinsipi yordamida ko'rsatamiz va yechimning turg‘unligini isbotlaymiz. (l)-(3) masala yechimining mavjudligi esa matematik fizikada keng qo'llaniladigan usullardan biri o'zgaruvchilarni ajratish, Fur’e usuli bilan ko‘rsatamiz.
Ekstremum prinsipi
1-teorema. Yopiq sohada uzluksiz bo'lgan va soha ichida bir jinsli
issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiruvchi funksiya o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga chiziqda erishadi.
Bu yerda qaralayotgan to‘rtburchakning , va chiziqlar ustida yotgan chegaralarining yig‘indisi.
ISBOT. funksiyaning to‘rtburchakdagi eng katta qiymati , ya’ni va chiziq ustidagi eng kata qiymati esa , ya’ni deb belgilaymiz.
Faraz qilaylik, to'rtburchakda shunday ichki nuqta topilsinki, bu nuqtada bo‘lsin, bu yerda , .
Quyidagi yordamchi
funksiyani qaraylik. to‘rtburchakning asosi t = 0 da, yon tomonlari va da
bo’lishini ko’rish qiyin emas.
Shu bilan birga . Demak, yordamchi funksiya ham funksiya kabi o'zining eng katta qiymatiga da erishmaydi.
Shunday ekan, funksiya o‘zining eng katta qiymatiga biror ) nuqtada erishsin. U holda, matematik analiz kursidan ma'lumki, shu nuqtada va bo'ladi.
Agar bo'lsa, u holda bu nuqtada
Agar bo‘lganda esa, munosabat o‘rinli bo'ladi.
Demak, nuqtada
(7)
tengsizlik bajariladi.
Ikkinchi tomondan esa
bo'lishi kerak. Bu esa (7) tengsizlikka zid.
Demak, bo‘ladigan nuqta topilsin, degan farazimiz noto‘g‘ri ekan. Ekstremum prinsipini eng katta qiymat uchun isbotlandi. Eng kichik qiymat uchun ham ekstremum prinsipi xuddi shnnday isbotlanadi.
1-xulosa. Agar funksiya issiqlik tarqalish tenglamasi- ning yechimi bo‘lib, yopiq sohada eng katta (eng kichik) qiymatiga ega bo'lsa, u holda bu funksiya sohada o‘zgarmasdir.
Isbot. Faraz qilaylik, da bo'lsin. U holda ekstremum prinsipiga asosan funksiya sohada o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga chegarada erishadi. Bu esa shartga zid.
2-xulosa. Agar funksiya issiqlik tarqalish tenglamasining yechimi bo'lsa, u holda uchun quyidagi tengsizliklar o‘rinli:
3-xulosa. Faraz qilaylik funksiya issiqlik tarqalish tenglamasining yechimi bo'lsin. Agar uchun u(x, t) > 0(< 0) bo‘lsa, u holda bo’lsa, u holda bo‘ladi.
Ekstremum prinsipidan foydalanib, (l)-(3) birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi va turg‘unligini isbot qilaylik.
2-teorema. Agar issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaning yechimi mavjud bo‘lsa, u holda bu yechim yagona bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, agar qaralayotgan masala bir xil boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va yechimlarga ega bo‘lsa, ularning ayirmasi bir jinsli (6) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini hamda bir jinsli boshlang‘ich
va
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. U holda ekstremum prinsipiga ko’ra va sohaning erishadi.
Bir jinsli shartlarga asosan sohaning chegarasida funksiya nolga teng. Demak uchun bo'ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaning yechimi , , va funksiyalarga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, funksiya (l)-(3) birinchi chegaraviy masalaning , , va funksiyalarga bog'liq bo'lgan yechimi, funksiya esa , , va funksiyalarga bog'liq bo'lgan yechimi bo‘lsin. Berilgan funksiyalar uchun
tengsizliklar bajarilsin. U holda uchun ekstremum prinsipidan kelib chiqqan 2-xulosaga ko‘ra
bo'ladi. Bundan sohada tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik (l)-(3) masala yechimining turg‘un ekanligini bildiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
