|
Bir o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani Fur’e usuli bilan yechish.
Chekli sterjenda issiqlik tarqalish tenglamasi uchun qo'yilgan (l)-(3) chegaraviy masala yechimining mavjudligini o'zgaruvchilarni ajratish usuli, ya’ni Fur'e usuli bilan isbotlaymiz.
Bu yerda biz sohada bir jinsli
(8)
issiqlik tarqalish tenglamasining
, (9)
boshlang'ich va
chegaraviy shartlarni va
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bunda , va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Biz izlanayotgan yechimni yopiq sohada uzluksiz funksiya, deb faraz qilamiz va shuning uchun berilgan , va funksiyalar uzluksiz va bular uchun
tengliklar o'rinli bo'lsin. Biz ushbu bosqichda qo'yilgan masalaning yechimini chegaraviy shartlar bir jinsli , ya’ni
, (10)
bo'lgan holda isbotlaymiz. Qaralayotgan (8)-(10) masala bir jinsli sterjenda issiqlik tarqalish jarayonining matematik modeli bo’lib, sterjenning uchlari doim nol darajadagi haroratni saqlaydi. Bu masalani yechish uchun Fur'e qatorlari nazariyasiga asoslangan, o'zgaruvchilarni ajratish usulini qo'llaymiz. (8) tenglamaning sohada xususiy yechimlarini
(11)
ko’rinishda izlaymiz.
Bu ko‘rinishdagi yechimni (8) tenglamaga qo‘yib, ushbu tengliklarni
yoki
hosil qilamiz. Bundan esa quyidagi
(12)
(13)
chiziqli oddiy differensial tenglamalarga ega bo'lamiz. Berilgan issiqlik tarqalish tenglamasining noldan farqli (11) ko‘rinishdagi yechimini topish uchun (13) oddiy differensial tenglamaning quyidagi
(14)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish zarur.
Shunday qilib, noma’lum funksiyani toppish uchun quyidagi
(15)
spektral masalaga ega bo’ldik.
Ma’lumki, parametrning
, (16)
qiymatlarida (15) xos qiymatlar va xos funksiyalar haqidagi masalaning noldan farqli yechimi mavjud va bu yechim
(17)
ko’rinishda bo’ladi. parametrning qiymatlariga (12) tenglamaning
(18)
yechimlari mos keladi, - ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Shunday qilib, quyidagi barcha funksiyalar
(19)
qaralayotgan (8) tenglamani va (9) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Bu funksiyalardan ushbu
(20)
qatorni tuzamiz.
Endi (20) qatorni (9) boshlang’ich shartni qanoatlantirishini talab qilib,
(21)
ifodani olamiz. Hosil qilingan bu (21) ifoda funksiyaning oraliqda sinuslar bo'yicha Fur'e qatoriga yoyilmasi bo‘lib, uning koeffitsientlari
(22)
formula bilan aniqlanadi. Agar funksiya oraliqda uzluksiz va u yerda birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo'lib, bo‘lsa, u holda (21) qator oraliqda funksiyaga absolyut va tekis yaqinlashadi.
Shu bilan birga ixtiyoriy da
bo'lgani uchun (20) qator ham tekis va absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi. shuning uchun (20) qator bilan aniqlangan ) funksiya sohada uzluksiz bo‘lib, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Endi funksiya , sohada (8) issiqlik tarqalish tenglamasini qanoatlantirishini ko‘rsataylik. Buning uchun (20) qatorni bo'yicha bir marta va bo'yicha ikki marta hadma-had differensiallaymiz va quyidagi
(23)
(24)
qatorlarni hosil qilamiz.
Bu qatorlarning hadlari , sohada
yoki
yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan chegaralangan va
U holda (23) va (24) qatorlar Veyershtrass alomatiga ko‘ra da absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan esa va funksiyalarning yopiq sohada uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. ixtiyoriy bo‘lgani uchun va funksiyalar sohada uzluksiz bo‘ladi. (23) va (24) formulalarni (8) tenglamaga qo'ysak, (20) formula bilan aniqlangan funksiya sohada berilgan tenglamaning yechimi bo'lishiga ishonch hosil qilamiz.
Shunday qilib, issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masala yechimining mavjudligi haqidagi ushbu teorema isbotlandi.
1-teorema. Agar va bo'lsa, u holda (8)-(10) masalaning yagona yechimi mavjud va bu yechim (20) qator bilan aniqlanadi, qatorning koeffitsientlari esa (22) formula bilan hisoblanadi.
Xulosa. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaning yechimi sohada cheksiz differensiallanuvchi, ya'ni bo‘ladi.
Chetki nuqtalari o’zgaruvchi haroratda bo’lgan sterjenda issiqlik tarqalishi.
Endi bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalada (3) chegaraviy shartlar bir jinsli bo'lmagan xolda yechimining mavjudligini Fur'e usulida isbotlaymiz
Chekli sohada bir jinsli
(25)
issiqlik tarqalish tenglamasining
, (26)
boshlang’ich va
(27)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bu yerda , va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
Oxirgi masalaning yechimini
(28)
ko’rinishida izlaymiz. Bunda
(29)
Endi noma’lum funksiyani topamiz. Buning uchun (29) ifodani ikki marta bo'laklab integrallaymiz. Natijada
funksiya (25) tenglamani va (27) chegaraviy shartlarni qanoatlantirgani uchun oxirgi formulani
(30)
ko'rinishda yozib olish mumkin.
(29) ifodani bo'yicha differensiallaymiz va
(31)
formulani olamiz. (30) ifodadan
topamiz va buni (31) formulaga qo'ysak, noma'lum funksiyaga nisbatan ushbu
tenglamaga ega bo'lamiz.
Oxirgi tenglamaning umumiy yechimi
(32)
bo’ladi. Bu yerda
(33)
Shunday qilib, (25) bir jinsli issiqlik tarqalish tenglamasining (26) boshlang’ich va (27) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yiichimi (28) qator ko'rinishda aniqlanadi, bunda koeffitsiyentlar (32) va (33) formulalar orqali topiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
