Ismatov Qurbonning Mavzu: Chiziqli operatorlar spektri va rezolventasi Ilmiy rahbar: katta o’qituvchi Do’stov s navoiy-2021 reja

2-natija. chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.

5-misol. Birlik va nol operatorlarning (1 va 2-misollar) chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, ularning normasini hisoblang.

Yechish. Birlik operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini hisoblaymiz. Ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. Ta’rifga ko‘ra, chegaralangan va uning normasi 1 ga teng. Endi nol operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, uning normasini topamiz. Istalgan uchun tenglik o‘rinli. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Nol operator chiziqli normalangan fazoning nol elementi bo‘ladi.

6-misol. 3-misolda keltirilgan differensial operatorning chegaralanmagan ekanligini ko‘rsating.

Yechish. Buning uchun akslantirishda fazodagi birlik shar ning tasviri chegaralanmagan to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. Birlik shar da yotuvchi ketma-ketlikni quyidagicha tanlaymiz:

U holda

Bundan

ekanligi kelib chiqadi. Demak, differensial operator chegaralanmagan ekan.

7-misol.4-misolda keltirilgan integral operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsating.

Yechish.4-misolda operatorning uzluksiz ekanligi ko‘rsatilgan edi.

2-natijaga ko‘ra, u chegaralangan bo‘ladi.